Функция Дикмана

Функция Дикмана – де Брюйна ρ ( u ), построенная в логарифмическом масштабе. Горизонтальная ось — это аргумент u , а вертикальная ось — значение функции. График почти образует нисходящую линию в логарифмическом масштабе, демонстрируя, что логарифм функции квазилинейный .

В аналитической теории чисел функция Дикмана или функция Дикмана-де Брюйна ρ — это специальная функция, используемая для оценки доли гладких чисел до заданной границы.Впервые его изучил актуарий Карл Дикман , который дал ему определение в своей единственной математической публикации: который не так легко доступен, и позже изучен голландским математиком Николаасом Говертом де Брейном .

Определение

Функция Дикмана–де Брейна $\rho (u)$ - непрерывная функция , удовлетворяющая дифференциальному уравнению с запаздыванием

$u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,$

с начальными условиями $\rho (u)=1$ для 0 ≤ и ≤ 1.

Свойства

Дикман доказал это, когда $a$ исправлено, у нас есть

$\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,$

где $\Psi (x,y)$ — это количество y - гладких (или y - рыхлых ) целых чисел ниже x .

Позже Рамасвами дал строгое доказательство того, что фиксированного для $\Psi (x,x^{1/a})$ был асимптотическим для $x\rho (a)$, с ошибкой

$\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)$

в большой записи О.

Приложения

Дикман-де Брейн использовал для расчета вероятности того, что наибольший и второй по величине коэффициент x меньше x^a.

Основная цель функции Дикмана – де Брюйна — оценить частоту гладких чисел заданного размера. Это можно использовать для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, таких как факторинг P-1 , и может быть полезно само по себе.

Можно показать, что

$\Psi (x,y)=xu^{O(-u)}$

что связано с оценкой $\rho (u)\approx u^{-u}$ ниже.

Константа Голомба -Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана-де Брюйна.

Оценка

В первом приближении может быть $\rho (u)\approx u^{-u}.\,$ Более точная оценка

$\rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))$

где Ei — экспоненциальный интеграл , а ξ — положительный корень

$e^{\xi }-1=u\xi .\,$

Простая верхняя граница $\rho (x)\leq 1/x!.$

$u$	$\rho (u)$
1	1
2	3.0685282 × 10 −1
3	4.8608388 × 10 −2
4	4.9109256 × 10 −3
5	3.5472470 × 10 −4
6	1.9649696 × 10 −5
7	8.7456700 × 10 −7
8	3.2320693 × 10 −8
9	1.0162483 × 10 −9
10	2.7701718 × 10 −11

Расчет

Для каждого интервала [ n − 1, n ] с n целым числом существует аналитическая функция $\rho _{n}$ такой, что $\rho _{n}(u)=\rho (u)$. Для 0 ≤ u ≤ 1, $\rho (u)=1$. Для 1 ≤ u ≤ 2, $\rho (u)=1-\log u$. Для 2 ≤ u ≤ 3,

$\rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}.$

с ₂ дилогарифм . Li Другой $\rho _{n}$ можно рассчитать с помощью бесконечного ряда.

Альтернативный метод — вычисление нижних и верхних границ с помощью правила трапеций ; сетка с все более мелкими размерами обеспечивает произвольную точность. Для вычислений с высокой точностью (сотни цифр) лучше использовать рекурсивное разложение в ряд по средним точкам интервалов.

Расширение

Фридлендер определяет двумерный аналог $\sigma (u,v)$ из $\rho (u)$. Эта функция используется для оценки функции $\Psi (x,y,z)$ аналогично де Брейну, но подсчитывает количество y -гладких целых чисел, у которых не более одного простого делителя больше z . Затем

$\Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).\,$

См. также

• Функция Бухштаба — функция, используемая аналогичным образом для оценки количества грубых чисел , сходимость которых к $e^{-\gamma }$ контролируется функцией Дикмана
• Константа Голомба – Дикмана

Дальнейшее чтение

• Бродхерст, Дэвид (2010). «Полилогарифмы Дикмана и их константы». arXiv : 1004.0519 [ math-ph ].
• Саундарараджан, Каннан (2012). «Асимптотическое разложение, связанное с функцией Дикмана». Журнал Рамануджана . 29 (1–3): 25–30. arXiv : 1005.3494 . дои : 10.1007/s11139-011-9304-3 . МР   2994087 . S2CID   119564455 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Дикмана» . Математический мир .