Название «функция ошибки» и ее аббревиатура erf были предложены Дж. У. Л. Глейшером в 1871 году из-за ее связи с «теорией вероятностей, и особенно с теорией ошибок ». [3] Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. [4]
Для «закона легкости» ошибок, плотность которых определяется выражением
Функция ошибок и ее аппроксимации могут использоваться для оценки результатов, которые справедливы с высокой или низкой вероятностью. Учитывая случайную величину X ~ Norm[ µ , σ ] (нормальное распределение со средним значением µ и стандартным отклонением σ ) и константу L > µ , это можно показать посредством интегрирования путем подстановки:
где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего значения, а именно µ − L ≥ σ √ ln k , то:
поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .
Вероятность того, что X находится в интервале [ L a , L b ], может быть получена как
Свойство erf (− z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это непосредственно следует из того, что подынтегральная функция e − т 2 является четной функцией (первообразная четной функции, равная нулю в начале координат, является нечетной функцией и наоборот).
Поскольку функция ошибок представляет собой целую функцию , которая преобразует действительные числа в действительные числа, для любого комплексного числа z :
Подынтегральная функция f = exp(− z 2 ) и f = erf z показаны на комплексной z -плоскости на рисунках справа с раскраской области .
Функция ошибок в точке +∞ равна ровно 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf z приближается к единице при z → +∞ и к −1 при z → −∞ . На мнимой оси оно стремится к ± i ∞ .
Функция ошибки — это целая функция ; он не имеет особенностей (кроме точки на бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но он широко известен «[...] своей плохой сходимостью, если x > 1 ». [5]
Расширение, [7] которое сходится быстрее для всех действительных значений x , чем разложение Тейлора, получается с помощью Ганса Генриха Бюрмана : теоремы [8]
где sn — знаковая функция . Оставив только первые два коэффициента и выбрав c 1 = 31/200 и = c 2 − 341/8000 : , , полученное приближение показывает наибольшую относительную ошибку при x = ±1,3796 где она меньше 0,0036127
Учитывая комплексное число z , не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1 существует уникальное действительное число, обозначаемое erf. −1 х удовлетворение
Обратная функция ошибок обычно определяется в области (−1,1) и ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить и на диск | г | <1 комплексной плоскости с использованием ряда Маклорена [9]
где c 0 = 1 и
Итак, мы имеем разложение в ряд (в числителях и знаменателях убраны общие множители):
(После отмены дроби числителя/знаменателя представляют собой записи OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS : A002067 .) Значение функции ошибок при ±∞ равно ±1 .
Для | г | < 1 , мы имеем erf(erf −1 z ) знак равно z .
Обратная дополнительная функция ошибок определяется как
Для действительного x существует уникальное действительное число erfi −1 x удовлетворяет erfi(erfi −1 Икс ) знак равно Икс . Обратная функция мнимой ошибки определяется как erfi −1 Икс . [10]
Для любого действительного x метод Ньютона можно использовать для вычисления erfi. −1 x , а при −1 ≤ x ≤ 1 сходится следующий ряд Маклорена:
Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :
где (2 n − 1)!! — двойной факториал числа (2 n − 1) , который является произведением всех нечётных чисел до (2 n − 1) . Этот ряд расходится для каждого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 имеет место
Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения для получения хорошего приближения erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).
Абрамовиц и Стегун дают несколько аппроксимаций различной точности (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке возрастания точности они следующие:
(максимальная ошибка: 5 × 10 −4 )
где а 1 = 0,278393 , а 2 = 0,230389 , а 3 = 0,000972 , а 4 = 0,078108
(максимальная ошибка: 2,5 × 10 −5 )
где p = 0,47047 , a 1 = 0,3480242 , a 2 = -0,0958798 , a 3 = 0,7478556
(максимальная ошибка: 3 × 10 −7 )
где a 1 = 0,0705230784 , a 2 = 0,0422820123 , a 3 = 0,0092705272 , a 4 = 0,0001520143 , a 5 = 0,0002765672 , a 6 = 0,0000430638
(максимальная ошибка: 1,5 × 10 −7 )
где p = 0,3275911 , a 1 = 0,254829592 , a 2 = -0,284496736 , a 3 = 1,421413741 , a 4 = -1,453152027 , a 5 = 1,061405429
Все эти приближения справедливы для x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательных x , используйте тот факт, что erf x является нечетной функцией, поэтому erf x = −erf(− x ) .
Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок задаются выражением [15]
Вышеупомянутое было обобщено на суммы N экспонент. [16] с возрастающей точностью в терминах N , так что erfc x может быть точно аппроксимирован или ограничен 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где
В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов {( a n , b n )} Н n = 1 , которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a n , b n )} Н n = 1 для многих вариантов экспоненциальных приближений и границы до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде комплексного набора данных. [17]
Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для x ∈ [0,∞) дана Карагианнидисом и Лиумпасом (2007). [18] который показал при соответствующем выборе параметров { A , B } , что
Они определили { A , B } = {1,98,1,135} , что дало хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу. [19]
где параметр β можно выбрать так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.
Другое приближение дает Сергей Виницкий, используя свои «глобальные приближения Паде»: [21] [22] : 2–3
где
Это разработано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и окрестности бесконечности, а относительная ошибка составляет менее 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013. [23]
Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:
Аппроксимация с максимальной погрешностью 1,2 × 10 −7 для любого реального аргумента: [24]
с
и
Приближение с максимальной относительной погрешностью менее по абсолютной величине составляет: [25]
для ,
Дополнительная функция ошибок , обозначаемая erfc , определяется как
График дополнительной функции ошибок Erfc(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок [26] (который можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического опустошения [26] [27] ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя: [28]
Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать в сочетании с erfc x = 2 − erfc(− x ) для получения erfc( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что область интегрирования фиксирована и конечна. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом: [29]
Несмотря на название «мнимая функция ошибки», erfi x действительна, когда x действительна.
Когда функция ошибок вычисляется для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно рассматривается в масштабированной форме как функция Фаддеевой :
Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной функции кумулятивного распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программирования. [ нужна цитата ] , поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,
нормальная кумулятивная функция распределения, построенная на комплексной плоскости
или переставить для erf и erfc :
Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как
Некоторые авторы обсуждают более общие функции: [ нужна цитата ]
Известные случаи:
E 0 ( x ) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 ( x ) = х / е √ π
E 2 ( x ) — функция ошибок, erf x .
После деления на n ! , все En n для нечетных выглядят похожими ( но не идентичными) друг другу. Аналогично, En n для четных выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.
Как сложная функция сложного аргумента [ править ]
libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет сложные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью примерно 13–14 цифр, на основе функции Фаддеевой , реализованной в пакете MIT Faddeeva Package.
Функцию для комплексных аргументов можно вычислить численно следующим образом:
^ Доминичи, Диего (2006). «Асимптотический анализ производных обратной функции ошибок». arXiv : math/0607230 .
^ Бергсма, Вичер (2006). «О новом коэффициенте корреляции, его ортогональном разложении и связанных с ним критериях независимости». arXiv : math/0604627 .
^ Кайт, Энни AM ; Петерсен, Вигдис Б.; Вердонк, Бриджит; Вааделанд, Хакон; Джонс, Уильям Б. (2008). Справочник цепных дробей для специальных функций . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-4020-6948-2 .
^ Нг, Эдвард В.; Геллер, Мюррей (январь 1969 г.). «Таблица интегралов от функций ошибки». Журнал исследований Национального бюро стандартов . Раздел B. 73B (1): 1. doi : 10.6028/jres.073B.001 .
^ Нильсон, Нильс (1906). Справочник по теории гамма-функции (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. п. 283 уравнение 3 . Проверено 4 декабря 2017 г.
^ Пресс, Уильям Х. (1992). Численные рецепты на Фортране 77: Искусство научных вычислений . Издательство Кембриджского университета. п. 214. ИСБН 0-521-43064-Х .
^ Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности двухветвевого EGC». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 68 (7): 4117–4125. дои : 10.1109/TCOMM.2020.2986209 . S2CID 216500014 .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 0DB700BE16E3013F275E94874C7B1B46__1717085400 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_error_function Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Error function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)