Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра)

В математике , теорема Лиувилля , первоначально сформулированная французским математиком Жозефом Лиувиллем в 1833–1841 годах накладывает важное ограничение на первообразные , которые могут быть выражены как элементарные функции .

Первообразные некоторых элементарных функций сами по себе не могут быть выражены как элементарные функции. Их называют неэлементарными первообразными . Стандартный пример такой функции: $e^{-x^{2}},$ первообразной которой является (с множителем константы) функция ошибок , знакомая из статистики . Другие примеры включают функции ${\frac {\sin(x)}{x}}$ и $x^{x}.$

Теорема Лиувилля утверждает, что элементарные первообразные, если они существуют, находятся в том же дифференциальном поле , что и функция, плюс, возможно, конечное число применений функции логарифма.

Определения

Для любого дифференциального поля $F,$ тот константы ​ $F$ это подполе $$\operatorname {Con} (F)=\{f\in F:Df=0\}.$$ Учитывая два дифференциальных поля $F$ и $G,$ $G$ называется логарифмическое расширение $F$ если $G$ является простым трансцендентным расширением $F$ (то есть, $G=F(t)$ для какого-то трансцендентного $t$) такой, что $$Dt={\frac {Ds}{s}}\quad {\text{ for some }}s\in F.$$

Это имеет форму логарифмической производной . Интуитивно можно подумать о $t$ как логарифм некоторого элемента $s$ из $F,$ в этом случае это условие аналогично обычному цепному правилу . Однако, $F$ не обязательно снабжен уникальным логарифмом; можно было бы присоединить множество «логарифмических» расширений к $F.$ Аналогично, экспоненциальное расширение — это простое трансцендентное расширение, удовлетворяющее условию $${\frac {Dt}{t}}=Ds\quad {\text{ for some }}s\in F.$$

Учитывая вышеизложенное, этот элемент можно рассматривать как экспоненту элемента $s$ из $F.$ Окончательно, $G$ называется элементарное дифференциальное расширение $F$ если существует конечная цепочка подполей из $F$ к $G$ где каждое расширение в цепочке является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Основная теорема

Предполагать $F$ и $G$ являются дифференциальными полями с $\operatorname {Con} (F)=\operatorname {Con} (G),$ и это $G$ является элементарным дифференциальным расширением $F.$ Предполагать $f\in F$ и $g\in G$ удовлетворить $Dg=f$ (словами предположим, что $G$ содержит первообразную от $f$). Тогда существуют $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \operatorname {Con} (F)$ и $f_{1},\ldots ,f_{n},s\in F$ такой, что $$f=c_{1}{\frac {Df_{1}}{f_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Df_{n}}{f_{n}}}+Ds.$$

Другими словами, единственные функции, имеющие «элементарные первообразные» (то есть первообразные, живущие, в худшем случае, в элементарном дифференциальном расширении $F$) имеют такую ​​форму. Таким образом, на интуитивном уровне теорема утверждает, что единственными элементарными первообразными являются «простые» функции плюс конечное число логарифмов «простых» функций.

Доказательство теоремы Лиувилля можно найти в разделе 12.4 книги Geddes et al. См. научную библиографию Лютцена, где представлен набросок оригинального доказательства Лиувилля. (Глава IX. Интегрирование в конечных терминах), его современное изложение и алгебраическая трактовка (там же, §61).

Примеры

Например, поле $F:=\mathbb {C} (x)$ рациональных функций от одной переменной имеет вывод, заданный стандартной производной по этой переменной. Константы этого поля — это просто комплексные числа. $\mathbb {C} ;$ то есть, $\operatorname {Con} (\mathbb {C} (x))=\mathbb {C} ,$

Функция $f:={\tfrac {1}{x}},$ который существует в $\mathbb {C} (x),$ не имеет первообразной в $\mathbb {C} (x).$ Его первообразные $\ln x+C$ однако существуют в логарифмическом расширении $\mathbb {C} (x,\ln x).$

Аналогично, функция ${\tfrac {1}{x^{2}+1}}$ не имеет первообразной в $\mathbb {C} (x).$ Его первообразные $\tan ^{-1}(x)+C$ похоже, не удовлетворяют требованиям теоремы, поскольку не являются (по-видимому) суммами рациональных функций и логарифмами рациональных функций. Однако расчет по формуле Эйлера $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ показывает, что на самом деле первообразные можно записать требуемым образом (в виде логарифмов рациональных функций). $${\begin{aligned}e^{2i\theta }&={\frac {e^{i\theta }}{e^{-i\theta }}}={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{\cos \theta -i\sin \theta }}={\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\\[8pt]\theta &={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\right)\\[8pt]\tan ^{-1}x&={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)\end{aligned}}$$

Связь с дифференциальной теорией Галуа

Теорему Лиувилля иногда представляют как теорему дифференциальной теории Галуа , но это не совсем так. Теорема может быть доказана без использования теории Галуа . Более того, группа Галуа простой первообразной либо тривиальна (если для ее выражения не требуется расширения поля), либо представляет собой просто аддитивную группу констант (соответствующую константе интегрирования). первообразной Таким образом, дифференциальная группа Галуа не кодирует достаточно информации, чтобы определить, можно ли ее выразить с помощью элементарных функций, что является основным условием теоремы Лиувилля.

См. также

• Алгебраическая функция – Математическая функция
• Выражение в закрытой форме - математическая формула, включающая заданный набор операций.
• Дифференциальная алгебра - алгебраическое исследование дифференциальных уравнений.
• Дифференциальная теория Галуа - Исследование групп симметрии Галуа дифференциальных полей
• Элементарная функция – Математическая функция
• Арифметика элементарных функций - Система арифметики в теории доказательств
• Функция Лиувилля - Элементарные функции и их конечно повторные интегралы.
• Неэлементарный интеграл - интегралы, не выражаемые в замкнутой форме из элементарных функций.
• Алгоритм Риша - метод вычисления неопределенных интегралов
• Школьная задача по алгебре Тарского - Математическая задача
• Трансцендентная функция - аналитическая функция, не удовлетворяющая полиномиальному уравнению.

Ссылки

• Бертран, Д. (1996), «Обзор «Лекций по дифференциальной теории Галуа» » (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 33 (2), doi : 10.1090/s0273-0979-96-00652-0 , ISSN   0002-9904
• Геддес, Кейт О.; Чапор, Стивен Р.; Лабан, Джордж (1992). Алгоритмы компьютерной алгебры . Академическое издательство Клювер. ISBN  0-7923-9259-0 .
• Лиувилль, Жозеф (1833a). «Первая диссертация по определению интегралов, значение которых алгебраическое» . Журнал Политехнической школы . том XIV: 124–148.
• Лиувилл, Жозеф (1833b). «Вторая диссертация об определении интегралов, значение которых алгебраическое» . Журнал Политехнической школы . том XIV: 149–193.
• Лиувилль, Жозеф (1833c). «Замечание об определении интегралов, значение которых является алгебраическим» . Журнал для королевы и математики . 10 : 347–359.
• Магид, Энди Р. (1994), Лекции по дифференциальной теории Галуа , Серия университетских лекций, том. 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-7004-4 , МР   1301076
• Магид, Энди Р. (1999), «Дифференциальная теория Галуа» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 46 (9): 1041–1049, ISSN   0002-9920 , MR   1710665
• ван дер Пут, Мариус; Сингер, Майкл Ф. (2003), Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений , Фундаментальные принципы математических наук, том. 328, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-44228-8 , МР   : 1960772

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Лиувилля» . Математический мир .