Дифференциальная алгебра

Эта статья об алгебраическом исследовании дифференциальных уравнений. Для понятия гомологической алгебры см. Дифференциальную градуированную алгебру .

В математике — это, вообще говоря , дифференциальная алгебра область математики, состоящая в изучении дифференциальных уравнений и дифференциальных операторов как алгебраических объектов с целью получения свойств дифференциальных уравнений и операторов без вычисления решений, подобно тому, как полиномиальные алгебры используются для изучение алгебраических многообразий , являющихся множествами решений систем полиномиальных уравнений . Алгебры Вейля и алгебры Ли можно рассматривать как принадлежащие дифференциальной алгебре.

Более конкретно, дифференциальная алгебра относится к теории, представленной Джозефом Риттом в 1950 году, в которой дифференциальные кольца , дифференциальные поля и дифференциальные алгебры представляют собой кольца , поля и алгебры, оснащенные конечным числом дифференцирований .

Естественным примером дифференциального поля является поле рациональных функций одной переменной над комплексными числами : $\mathbb {C} (t),$ где вывод представляет собой дифференцирование по $t.$ В более общем смысле, каждое дифференциальное уравнение можно рассматривать как элемент дифференциальной алгебры над дифференциальным полем, порожденным (известными) функциями, входящими в уравнение.

История

Джозеф Ритт разработал дифференциальную алгебру, поскольку считал попытки приведения систем дифференциальных уравнений к различным каноническим формам неудовлетворительным подходом. Однако успех алгебраических методов исключения и теории алгебраических многообразий побудил Ритта рассмотреть аналогичный подход для дифференциальных уравнений. Его усилия привели к созданию первоначальной статьи « Многообразия функций, определяемых системами алгебраических дифференциальных уравнений» и двух книг: «Дифференциальные уравнения с алгебраической точки зрения» и «Дифференциальная алгебра» . Эллис Колчин , ученик Ритта, продвинул эту область и опубликовал «Дифференциальную алгебру и алгебраические группы» .

Дифференциальные кольца

Определение

Вывод ​ ${\textstyle \partial }$ на кольце ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ это функция $\partial :R\to R\,$такой, что

$$\partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}$$

и

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad$ ( правило произведения Лейбница ),

для каждого $r_{1}$ и $r_{2}$ в $R.$

Вывод является линейным по целым числам, поскольку из этих тождеств следует $\partial (0)=\partial (1)=0$ и $\partial (-r)=-\partial (r).$

— Дифференциальное кольцо это коммутативное кольцо. $R$ снабжен одним или несколькими производными, коммутирующими попарно; то есть,

$$\partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))$$

для каждой пары дифференцирований и каждого $r\in R.$ Когда имеется только один вывод, часто говорят об обычном дифференциальном кольце ; в противном случае говорят о кольце частных дифференциалов.

Дифференциальное поле — это дифференцируемое кольцо, которое также является полем. алгебра Дифференциальная $A$ над дифференциальным полем $K$ является дифференциальным кольцом, содержащим $K$ как подкольцо такое, что ограничение на $K$ выводов $A$ равны выводам $K.$ (Более общее определение дано ниже, которое охватывает случай, когда $K$ не является полем и по существу эквивалентен, когда $K$ это поле.)

Алгебра Витта — это дифференциальное кольцо, содержащее поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел. Эквивалентно, это дифференциальная алгебра над $\mathbb {Q} ,$ с $\mathbb {Q}$ можно рассматривать как дифференциальное поле, в котором каждое дифференцирование является нулевой функцией .

Константами дифференциального кольца являются элементы $r$ такой, что $\partial r=0$ для каждого вывода $\partial .$ Константы дифференциального кольца образуют подкольцо , а константы дифференцируемого поля — подполе. Это значение слова «константа» обобщает концепцию постоянной функции , и его не следует путать с общим значением константы .

Основные формулы

следующих тождествах В $\delta$ является производным дифференциального кольца $R.$

• Если $r\in R$ и $c$ является константой в $R$ (то есть, $\delta c=0$), затем
  $$\delta (cr)=c\delta (r).$$
• Если $r\in R$ и $u$ является единицей в $R,$ затем
  $$\delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}$$
• Если $n$ является неотрицательным целым числом и $r\in R$ затем
  $$\delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)$$
• Если $u_{1},\ldots ,u_{n}$ являются единицами в $R,$ и $e_{1},\ldots ,e_{n}$ являются целыми числами, имеется тождество логарифмической производной :
  $${\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.$$

Выводы высшего порядка

Оператор вывода или вывод более высокого порядка представляет собой композицию нескольких производных. Поскольку предполагается, что дифференцирования дифференциального кольца коммутируют, порядок дифференцирований не имеет значения, и оператор дифференцирования можно записать как

$$\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},$$

где $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ рассматриваемые выводы, $e_{1},\ldots ,e_{n}$ являются неотрицательными целыми числами, а показатель степени вывода обозначает, сколько раз этот вывод составляется в операторе.

Сумма $o=e_{1}+\cdots +e_{n}$ называется порядком вывода. Если $o=1$ оператор деривации является одним из исходных дериваций. Если $o=0$, имеется тождественная функция , которая обычно рассматривается как уникальный оператор дифференцирования нулевого порядка. При соблюдении этих соглашений операторы дифференцирования образуют свободный коммутативный моноид на рассматриваемом множестве дифференцирований.

Производная ​ элемента $x$ дифференциального кольца — это применение оператора дифференцирования к $x,$ то есть с учетом приведенных выше обозначений $\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).$ – Правильная производная это производная положительного порядка.

идеалы

Дифференциальный идеал $I$ дифференциального кольца $R$ является идеалом кольца $R$ замкнутый (устойчивый) относительно дифференцирований кольца; то есть, ${\textstyle \partial x\in I,}$ для каждого вывода $\partial$ и каждый $x\in I.$ Дифференциальный идеал называется собственным, если он не представляет собой все кольцо. Во избежание путаницы идеал, не являющийся дифференциальным идеалом, иногда называют алгебраическим идеалом .

Радикал радикал дифференциального идеала — это то же самое, что и его как алгебраического идеала, то есть множество кольцевых элементов, имеющих степень в идеале. Радикал дифференциального идеала также является дифференциальным идеалом. Радикальный . или совершенный дифференциальный идеал — это дифференциальный идеал, равный своему радикалу Первичный дифференциальный идеал — это дифференциальный идеал, простой в обычном смысле; то есть, если продукт принадлежит идеальному, то хотя бы один из факторов принадлежит идеальному. Простой дифференциальный идеал всегда является радикальным дифференциальным идеалом.

Открытие Ритта состоит в том, что, хотя классическая теория алгебраических идеалов не работает для дифференциальных идеалов, большая часть ее может быть распространена на радикальные дифференциальные идеалы, и это делает их фундаментальными в дифференциальной алгебре.

Пересечение любого семейства дифференциальных идеалов является дифференциальным идеалом, а пересечение любого семейства радикальных дифференциальных идеалов является радикальным дифференциальным идеалом. Отсюда следует, что, учитывая подмножество $S$ Дифференциального кольца существует три порожденных им идеала, которые являются пересечениями соответственно всех алгебраических идеалов, всех дифференциальных идеалов и всех радикальных дифференциальных идеалов, содержащих его.

Алгебраический идеал, порожденный $S$ – множество конечных линейных комбинаций элементов $S,$ и обычно обозначается как $(S)$ или $\langle S\rangle .$

Дифференциальный идеал, порожденный $S$ – множество конечных линейных комбинаций элементов $S$ и производных любого порядка этих элементов; его обычно обозначают как $[S].$ Когда $S$ конечно, $[S]$ обычно не является конечно порожденным как алгебраический идеал.

Радикальный дифференциальный идеал, порожденный $S$ обычно обозначается как $\{S\}.$ Неизвестно, как охарактеризовать его элемент так же, как в двух других случаях.

Дифференциальные полиномы

Дифференциальный полином над дифференциальным полем $K$ представляет собой формализацию понятия дифференциального уравнения , при которой известные функции, входящие в уравнение, принадлежат $K,$ а неопределенные являются символами неизвестных функций.

Итак, пусть $K$ быть дифференциальным полем, которое обычно (но не обязательно) является полем рациональных дробей $K(X)=K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ (дроби многомерных многочленов), снабженные выводами $\partial _{i}$ такой, что $\partial _{i}x_{i}=1$ и $\partial _{i}x_{j}=0$ если $i\neq j$ (обычные частные производные).

Для определения кольца ${\textstyle K\{Y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ дифференциальных полиномов по $K$ с неопределенными в $Y=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}$ с выводами $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n},$ вводится бесконечность новых неопределённостей вида $\Delta y_{i},$ где $\Delta$ — любой оператор вывода порядка выше 1 . С помощью этого обозначения $K\{Y\}$ - это набор многочленов от всех этих неопределенных с естественными выводами (каждый многочлен включает только конечное число неопределенных). В частности, если $n=1,$ у одного есть

$K\{y\}=K\left[y,\partial y,\partial ^{2}y,\partial ^{3}y,\ldots \right].$

Даже когда $n=1,$ кольцо дифференциальных полиномов не нётерово . Это затрудняет теорию этого обобщения колец полиномов. Однако два факта позволяют сделать такое обобщение.

Во-первых, конечное число дифференциальных полиномов включает в себя конечное число неопределенных. Отсюда следует, что каждое свойство полиномов, включающее конечное число полиномов, остается верным и для дифференциальных полиномов. В частности, существуют наибольшие общие делители , а кольцо дифференциальных многочленов является уникальной областью факторизации .

Второй факт состоит в том, что если поле $K$ содержит поле рациональных чисел, кольца дифференциальных многочленов над $K$ удовлетворяют условию восходящей цепи на радикальных дифференциальных идеалах. Эта теорема Ритта вытекает из ее обобщения, иногда называемого базовой теоремой Ритта-Рауденбуша , которое утверждает, что если $R$ является алгеброй Ритта (то есть дифференциальным кольцом, содержащим поле рациональных чисел), удовлетворяющее условию возрастающей цепи на радикальных дифференциальных идеалах, то кольцо дифференциальных многочленов $R\{y\}$ удовлетворяет тому же свойству (переход от одномерного случая к многомерному осуществляется итерационным применением теоремы).

Это нётерово свойство означает, что в кольце дифференциальных многочленов каждый радикальный дифференциальный идеал I конечно порождается как радикальный дифференциальный идеал; это означает, что существует конечное множество S дифференциальных многочленов такое, что I — наименьший радикальный дифференциальный идеал, содержащий S . Это позволяет представить радикальный дифференциальный идеал таким конечным набором генераторов и выполнять вычисления с этими идеалами. Однако некоторые обычные вычисления алгебраического случая не могут быть расширены. В частности, не известен алгоритм проверки принадлежности элемента радикальному дифференциальному идеалу или равенства двух радикальных дифференциальных идеалов.

Другим следствием нётеровости является то, что радикальный дифференциальный идеал может быть однозначно выражен как пересечение конечного числа простых дифференциальных идеалов, называемых существенными простыми компонентами идеала.

Методы устранения

Методы исключения — это алгоритмы, которые преимущественно исключают указанный набор производных из набора дифференциальных уравнений, что обычно делается для лучшего понимания и решения наборов дифференциальных уравнений.

Категории методов исключения включают набора характеристик методы дифференциальных базисов Грёбнера , методы и методы, основанные на результирующих методах.

Общие операции, используемые в алгоритмах исключения, включают 1) ранжирование производных, полиномов и наборов полиномов, 2) идентификацию ведущей производной полинома, начальной и сепарантной, 3) сокращение полинома и 4) создание специальных наборов полиномов.

Рейтинг деривативов

Ранжирование общий деривативов представляет собой порядок и допустимый порядок , определяемый как:

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :\theta _{\mu }p>p.}$

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

Каждая производная имеет целочисленный кортеж, а мономиальный порядок ранжирует производную, ранжируя целочисленный кортеж производной. Целочисленный кортеж идентифицирует дифференциальную неопределённость, мультииндекс производной и может идентифицировать порядок производной. Типы ранжирования включают в себя:

• Упорядоченный рейтинг : $\forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}$
• Рейтинг на выбывание : $\forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}$

В этом примере целочисленный кортеж идентифицирует дифференциальный неопределенный и мультииндекс производной, а также лексикографический мономиальный порядок . ${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$, определяет ранг производной.

$\eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})$.

$\eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.$

Ведущая производная, начальная и сепарантная

Это стандартная полиномиальная форма: $p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}$.

• Лидер или ведущая производная - это производная полинома с наивысшим рейтингом: $u_{p}$.
• Коэффициенты $a_{d},\ldots ,a_{0}$ не содержат ведущей производной ${\textstyle u_{p}}$.
• Степень полинома — это наибольший показатель степени ведущей производной: $\deg _{u_{p}}(p)=d$.
• Начальным является коэффициент: $I_{p}=a_{d}$.
• Ранг — это старшая производная, возведенная в степень полинома: $u_{p}^{d}$.
• Сепарант – это производная: $S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}$.

Сепарантный набор $S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}$, начальный набор $I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}$ и комбинированный набор ${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$.

Сокращение

Частично приведенный ( частичная нормальная форма ) полином ${\textstyle q}$ относительно полинома ${\textstyle p}$ указывает, что эти полиномы не являются элементами основного поля, ${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$, и $q$ не содержит собственной производной от $u_{p}$.

Частично приведенный полином ${\textstyle q}$ относительно полинома ${\textstyle p}$ становится приведенный ( нормальная форма ) полином ${\textstyle q}$ относительно ${\textstyle p}$ если степень ${\textstyle u_{p}}$ в ${\textstyle q}$ меньше, чем степень ${\textstyle u_{p}}$ в ${\textstyle p}$.

В авторедуцированном наборе полиномов каждый полином приведен к каждому другому полиному набора. Каждое авторедуцированное множество конечно. Авторедуцируемое множество является треугольным , что означает, что каждый полиномиальный элемент имеет отдельную ведущую производную.

Алгоритм сокращения Ритта идентифицирует целые числа ${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$ и преобразует дифференциальный полином ${\textstyle f}$ использование псевдоделения на полином остатка более низкого или равного ранга ${\textstyle f_{red}}$ приведенный по отношению к авторедуцированному множеству полиномов ${\textstyle A}$. Первый шаг алгоритма частично уменьшает входной полином, а второй шаг алгоритма полностью уменьшает полином. Формула сокращения такова:

$f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .$

наборов

Набор ${\textstyle A}$ является дифференциальной цепью, если ранг старших производных равен ${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$ и ${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$ снижается по отношению к ${\textstyle A_{i+1}}$

Автосокращенные наборы ${\textstyle A}$ и ${\textstyle B}$ каждый содержит ранжированные полиномиальные элементы. Эта процедура ранжирует два авторедуцируемых набора путем сравнения пар одинаково пронумерованных наборов. полиномы из обоих авторедуцируемых наборов.

• $A_{1}<\cdots <A_{m}\in A$ и $B_{1}<\cdots <B_{n}\in B$ и $i,j,k\in \mathbb {N}$.
• ${\text{rank }}A<{\text{rank }}B$ если есть $k\leq \operatorname {minimum} (m,n)$ такой, что $A_{i}=B_{i}$ для ${\textstyle 1\leq i<k}$ и $A_{k}<B_{k}$.
• $\operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B$ если $n<m$ и $A_{i}=B_{i}$ для $1\leq i\leq n$.
• $\operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B$ если $n=m$ и $A_{i}=B_{i}$ для $1\leq i\leq n$.

Полиномиальные наборы

набор Характерный ${\textstyle C}$ - это авторедуцируемое подмножество самого низкого ранга среди всех авторедуцированных подмножеств идеала, чьи полиномиальные сепаранты подмножества не являются членами идеала. ${\textstyle {\mathcal {I}}}$.

Дельта -полином применяется к паре полиномов ${\textstyle p,q}$ чьи лидеры имеют общую производную, ${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$. Наименьший общий оператор производной для ведущих производных полиномиальной пары: ${\textstyle \theta _{pq}}$, а дельта-полиномиал:

$\operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}$

Когерентный набор — это полиномиальный набор, который сводит свои пары дельта-полиномов к нулю.

Регулярная система и регулярный идеал

система Обычная ${\textstyle \Omega }$ содержит авторедуцированную и связную систему дифференциальных уравнений ${\textstyle A}$ и набор неравенств ${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$ с набором ${\textstyle H_{\Omega }}$ приведено по отношению к системе уравнений.

Регулярный дифференциальный идеал ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$ и регулярный алгебраический идеал ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$ — это идеалы насыщения , возникающие из регулярной системы. Лемма Лазара утверждает, что регулярные дифференциальные и регулярные алгебраические идеалы являются радикальными идеалами.

• Регулярный дифференциальный идеал : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• Регулярный алгебраический идеал : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

Алгоритм Розенфельда – Грёбнера

Алгоритм Розенфельда – Грёбнера разлагает радикальный дифференциальный идеал как конечное пересечение регулярных радикальных дифференциальных идеалов. Эти регулярные дифференциальные радикальные идеалы, представленные характеристическими множествами, не обязательно являются простыми идеалами, и их представление не обязательно минимально .

Проблема принадлежности состоит в том, чтобы определить, является ли дифференциальный полином ${\textstyle p}$ является членом идеала, порожденного набором дифференциальных полиномов ${\textstyle S}$. Алгоритм Розенфельда – Грёбнера генерирует наборы баз Грёбнера. Алгоритм определяет, что полином является членом идеала тогда и только тогда, когда частично уменьшенный полином остатка является членом алгебраического идеала, порожденного базисами Грёбнера.

Алгоритм Розенфельда – Грёбнера облегчает создание ряд Тейлора . разложений решений дифференциальных уравнений в

Примеры

Дифференциальные поля

Пример 1: ${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y})}$ — дифференциальное мероморфное функциональное поле с единственным стандартным выводом .

Пример 2: ${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},(1+3\cdot y+y^{2})\cdot \partial _{y})}$ является дифференциальным полем с линейным дифференциальным оператором в качестве вывода.

Вывод

Определять ${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ в качестве оператора смены ${\textstyle E^{a}}$ для полинома ${\textstyle p(y)}$.

Инвариантный к сдвигу оператор ${\textstyle T}$ коммутирует с оператором сдвига: ${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$.

Производная Пинчерле , вывод инвариантного к сдвигу оператора ${\textstyle T}$, является ${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$.

Константы

Кольцо целых чисел $(\mathbb {Z} .\delta )$, и каждое целое число является константой.

• Вывод 1 равен нулю. ${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$.
• Также, $\delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)$.
• По индукции $\delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0$.

Поле рациональных чисел $(\mathbb {Q} .\delta )$, и каждое рациональное число является константой.

• Каждое рациональное число является частным целых чисел.

  $\forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}$

• Примените формулу вывода для частных, учитывая, что вывод целых чисел равен нулю:

  $\delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0$.

Дифференциальное подкольцо

Константы образуют подкольцо констант ${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$.

Дифференциальный идеал

Элемент ${\textstyle \exp(y)}$ просто генерирует дифференциальный идеал ${\textstyle [\exp(y)]}$ в дифференциальном кольце ${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$.

кольцом

Любое кольцо с индивидуальностью является ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$алгебра. Таким образом, дифференциальное кольцо – это ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$алгебра.

Если звонят ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ является подкольцом центра единичного кольца ${\textstyle {\mathcal {M}}}$, затем ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ это ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$алгебра. Таким образом, дифференциальное кольцо является алгеброй над своим дифференциальным подкольцом. Это естественная структура алгебры над ее подкольцом.

и

Кольцо ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$ имеет неприводимые многочлены, ${\textstyle p}$ (нормальный, без квадратов) и ${\textstyle q}$ (специальный, идеальный генератор).

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

Полиномы

Рейтинг

Кольцо ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y_{1},y_{2}\},\delta )}$ имеет производные ${\textstyle \delta (y_{1})=y_{1}^{\prime }}$ и ${\textstyle \delta (y_{2})=y_{2}^{\prime }}$

• Сопоставьте каждую производную с целочисленным кортежем: ${\textstyle \eta (\delta ^{(i_{2})}(y_{i_{1}}))=(i_{1},i_{2})}$.
• Производные ранга и целочисленные кортежи: ${\textstyle y_{2}^{\prime \prime }\ (2,2)>y_{2}^{\prime }\ (2,1)>y_{2}\ (2,0)>y_{1}^{\prime \prime }\ (1,2)>y_{1}^{\prime }\ (1,1)>y_{1}\ (1,0)}$.

Ведущая производная и начальная

Ведущие производные и инициалы :

${\textstyle p={\color {Blue}(y_{1}+y_{1}^{\prime })}\cdot ({\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }})^{2}+3\cdot y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle q={\color {Blue}(y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime })}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+y_{1}\cdot y_{2}^{\prime }+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle r={\color {Blue}(y_{1}+3)}\cdot ({\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }})^{2}+y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }}+2\cdot y_{1}}$

Сепаранты

${\textstyle S_{p}=2\cdot (y_{1}+y_{1}^{\prime })\cdot y_{2}^{\prime \prime }+3\cdot y_{1}^{2}}$.

${\textstyle S_{q}=y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime }}$

${\textstyle S_{r}=2\cdot (y_{1}+3)\cdot y_{1}^{\prime \prime }+y_{1}^{2}}$

Автосокращенные наборы

• Авторедуктивные наборы ${\textstyle \{p,r\}}$ и ${\textstyle \{q,r\}}$. Каждый набор треугольный с отдельной полиномиальной ведущей производной.
• Неавторедуцируемое множество ${\textstyle \{p,q\}}$ содержит лишь частично восстановленный ${\textstyle p}$ относительно ${\textstyle q}$; этот набор нетреугольный, поскольку полиномы имеют одну и ту же старшую производную.

Приложения

Символическая интеграция

Символьное интегрирование использует алгоритмы, включающие полиномы и их производные, такие как редукция Эрмита, алгоритм Чиховского, алгоритм Лазарда-Риобо-Трагера, алгоритм Горовица-Остроградского, бесквадратная факторизация и факторизация расщепления на специальные и нормальные полиномы.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальная алгебра может определить, имеет ли набор дифференциальных полиномиальных уравнений решение. Ранжирование общего порядка может выявить алгебраические ограничения. Ранжирование исключения может определить, могут ли одна или выбранная группа независимых переменных выражать дифференциальные уравнения. Используя треугольное разложение и порядок исключения, можно поэтапным методом решить дифференциальные уравнения по одному неопределенному дифференциалу за раз. Другой подход заключается в создании класса дифференциальных уравнений с известной формой решения; сопоставление дифференциального уравнения с его классом идентифицирует решение уравнения. Доступны методы, облегчающие численное интегрирование дифференциально-алгебраической системы уравнений.

При изучении нелинейных динамических систем с хаосом исследователи использовали дифференциальное исключение, чтобы свести дифференциальные уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, включающим одну переменную состояния. В большинстве случаев они оказывались успешными, и это способствовало разработке приближенных решений, эффективной оценке хаоса и построению функций Ляпунова . Исследователи применили дифференциальное исключение для понимания клеточной биологии , компартментальных биохимических моделей , оценки параметров и аппроксимации квазистационарного состояния (QSSA) для биохимических реакций. Используя дифференциальные базисы Грёбнера, исследователи исследовали неклассические симметрии свойства нелинейных дифференциальных уравнений . Другие приложения включают теорию управления, теорию моделей и алгебраическую геометрию. Дифференциальная алгебра также применима к дифференциально-разностным уравнениям.

Алгебры с выводами

Дифференциальное градуированное векторное пространство

А ${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ векторное пространство ${\textstyle V_{\bullet }}$ представляет собой набор векторных пространств ${\textstyle V_{m}}$ с целой степенью ${\textstyle |v|=m}$ для ${\textstyle v\in V_{m}}$. Прямая сумма может представлять это градуированное векторное пространство:

$V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}$

Дифференциальное градуированное векторное пространство или цепной комплекс — это градуированное векторное пространство. ${\textstyle V_{\bullet }}$ с дифференциальной картой или картой границ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$ с $d_{m}\circ d_{m+1}=0$ .

Коцепной комплекс — это градуированное векторное пространство. ${\textstyle V^{\bullet }}$ с дифференциальной картой или кограничной картой ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$ с $d_{m+1}\circ d_{m}=0$.

алгебра

Дифференциальная градуированная алгебра — это градуированная алгебра. ${\textstyle A}$ с линейным выводом ${\textstyle d:A\to A}$ с $d\circ d=0$ что соответствует правилу градуированного произведения Лейбница.

• Правило градуированного произведения Лейбница: $\forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)$ с $|a|$ степень вектора $a$.

Алгебра лжи

Алгебра Ли — это конечномерное действительное или комплексное векторное пространство. ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ с оператором билинейной скобки ${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$ с косой симметрией и свойством тождества Якоби .

• Косая симметрия: $[X,Y]=-[Y,X]$
• Свойство личности Якоби: $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

для всех $X,Y,Z\in {\mathcal {g}}$.

Сопряженный оператор , ${\textstyle \operatorname {ad_{X}} (Y)=[Y,X]}$ является производным скобки , поскольку влияние сопряженного на операцию двоичной скобки аналогично влиянию вывода на операцию двоичного произведения. Это внутренний вывод, определяемый ${\textstyle X}$.

$\operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]$

Универсальная обертывающая алгебра ${\textstyle U({\mathcal {g}})}$ алгебры Ли ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ — максимальная ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами алгебры Ли. ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ и содержащий продукты, определенные операцией скобок. Максимальный означает, что линейный гомоморфизм отображает универсальную алгебру в любую другую алгебру, которая в противном случае обладает этими свойствами. Сопряженный оператор является производным согласно правилу произведения Лейбница.

• Продукт в $U({\mathcal {g}})$ : $X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]$
• Правило произведения Лейбница: $\operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)$

для всех $X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})$.

Алгебра Вейля

Алгебра Вейля — это алгебра ${\textstyle A_{n}(K)}$ по кольцу ${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$ с конкретным некоммутативным произведением:

$p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\ :\ i\in \{1,\dots ,n\}$.

Все остальные неопределенные произведения коммутативны для ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$:

$p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0$.

Алгебра Вейля может представлять собой дифференцирование полиномов коммутативного кольца. ${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$. Элементы алгебры Вейля являются эндоморфизмами , элементы ${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ функционируют как стандартные выводы, а композиции карт генерируют линейные дифференциальные операторы . D-модуль — это аналогичный подход к пониманию дифференциальных операторов. Эндоморфизмы:

$q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K$

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Ассоциативное, возможно, некоммутативное кольцо ${\textstyle A}$ имеет происхождение ${\textstyle d:A\to A}$.

псевдодифференциальных операторов Кольцо ${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$ это левый ${\textstyle \operatorname {A-module} }$ содержащий кольцевые элементы ${\textstyle L}$:

$a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}$

Оператор производной ${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$.

коэффициент Биномиальный ​ ${\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}$.

Псевдодифференциальный оператор умножения:

$\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}$

Открытые проблемы

Проблема Ритта спрашивает, существует ли алгоритм, который определяет, содержит ли один простой дифференциальный идеал второй простой дифференциальный идеал, когда наборы характеристик идентифицируют оба идеала.

утверждает Гипотеза о цепной связи Колчина , что при наличии ${\textstyle d>0}$ размерное неприводимое дифференциально-алгебраическое многообразие ${\textstyle V}$ и произвольная точка ${\textstyle p\in V}$длинная лаконичная цепочка неприводимых дифференциально-алгебраических подмногообразий возникает из ${\textstyle p}$ to V.

Гипотеза о границе Якоби касается верхней оценки порядка неприводимой компоненты дифференциального многообразия. Порядки полинома определяют число Якоби, и предполагается, что число Якоби определяет эту оценку.

См. также

• Арифметическая производная - функция, определенная для целых чисел в теории чисел.
• Разностная алгебра
• Дифференциальная алгебраическая геометрия
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами - часть коммутативной алгебры. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Дифференциальная теория Галуа - Исследование групп симметрии Галуа дифференциальных полей
• Дифференциально замкнутое поле
• Дифференциальная градуированная алгебра - алгебраическая структура в гомологической алгебре
• D-модуль - модуль над набором дифференциальных операторов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Поле Харди - поле, состоящее из зачатков вещественных функций на бесконечности, замкнутых при дифференцировании. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Дифференциал Кэлера - Дифференциальная форма в коммутативной алгебре
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра) - говорит, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены как элементарные функции.
• Теория Пикара – Вессио - Исследование расширений дифференциальных полей, индуцированных линейными дифференциальными уравнениями.

Ссылки

• Булье, Франсуа; Лазард, Дэниел; Оливье, Франсуа; Петито, Мишель (1995). «Представление радикала конечно порожденного дифференциального идеала» . Материалы международного симпозиума 1995 года по символическим и алгебраическим вычислениям - ISSAC '95 (PDF) . стр. 158–166. дои : 10.1145/220346.220367 . ISBN  0897916999 . S2CID   11059042 .
• Булье, Франсуа (31 декабря 2007 г.). «Дифференциальное устранение и биологическое моделирование» . Базисы Грёбнера в символическом анализе . 2 : 109–138. дои : 10.1515/9783110922752.109 . ISBN  978-3-11-019323-7 . S2CID   61916692 .
• Булье, Франсуа; Лемэр, Франсуа (2009a). «Дифференциальная алгебра и методы QSSA в биохимии» . Тома трудов МФБ . 42 (10): 33–38. дои : 10.3182/20090706-3-FR-2004.00004 .
• Булье, Франсуа; Лазард, Дэниел; Оливье, Франсуа; Петито, Мишель (апрель 2009b). «Вычислительные представления радикалов конечно порожденных дифференциальных идеалов» . Применимая алгебра в технике, связи и информатике . 20 (1): 73–121. дои : 10.1007/s00200-009-0091-7 . S2CID   5482290 .
• Бронштейн, Мануэль (2005). Символическое интегрирование I: трансцендентные функции . Алгоритмы и вычисления в математике. Том. 1 (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/b138171 . ISBN  3-540-21493-3 .
• Буйум, Александру (1994). Дифференциальная алгебра и диофантова геометрия . Германн. ISBN  978-2-7056-6226-4 .
• Шарден, Марк (1991). «Дифференциальные результирующие и промежуточные». В Будахе Л. (ред.). Основы теории вычислений. FCT 1991. Конспекты лекций по информатике . Том. 529. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 180–189. дои : 10.1007/3-540-54458-5_62 . ISBN  978-3-540-38391-8 .
• Кларксон, Питер А.; Мэнсфилд, Элизабет Л. (январь 1994 г.). «Сокращение симметрии и точные решения одного класса нелинейных уравнений теплопроводности». Физика D: Нелинейные явления . 70 (3): 250–288. arXiv : Solv-int/9306002 . Бибкод : 1994PhyD...70..250C . дои : 10.1016/0167-2789(94)90017-5 . S2CID   16858637 .
• Креспо, Тереза; Хайто, Збигнев (2011). Алгебраические группы и дифференциальная теория Галуа . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-5318-4 .
• Диоп, Сетте (май 1992 г.). «Дифференциально-алгебраические методы принятия решений и некоторые приложения к теории систем» (PDF) . Теоретическая информатика . 98 (1): 137–161. дои : 10.1016/0304-3975(92)90384-R .
• Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-43334-9 .
• Ферро, Джузеппа Карра; Гердт, вице-президент (2003). «Улучшенный алгоритм Колчина – Ритта» . Программирование и компьютерное программное обеспечение . 29 (2): 83–87. дои : 10.1023/А:1022996615890 . S2CID   26280002 .
• Ферро, Джузеппа Карра (2005). «Обобщенные дифференциальные результирующие системы алгебраических ОДУ и теория дифференциального исключения» . Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Тенденции в математике. Биркхойзер. стр. 343–350. дои : 10.1007/3-7643-7429-2_18 . ISBN  978-3-7643-7429-7 .
• Фрайтаг, Джеймс; Санчес, Омар Леон; Симмонс, Уильям (2 июня 2016 г.). «О линейной зависимости от полных дифференциальных алгебраических многообразий». Связь в алгебре . 44 (6): 2645–2669. arXiv : 1401.6211 . дои : 10.1080/00927872.2015.1057828 . S2CID   56218725 .
• Гао, XS; Ван дер Хувен, Дж.; Юань, CM; Чжан, GL (1 сентября 2009 г.). «Метод характеристических множеств для дифференциально-разностных полиномиальных систем» . Журнал символических вычислений . 44 (9): 1137–1163. дои : 10.1016/j.jsc.2008.02.010 .
• Голубицкий, О.Д.; Кондратьева, М.В.; Овчинников, А.И. (2009). «Об обобщенной задаче Ритта как вычислительной задаче» . Журнал математических наук . 163 (5): 515–522. arXiv : 0809.1128 . дои : 10.1007/s10958-009-9689-3 . S2CID   17503904 .
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение (Второе изд.). Чам: Спрингер. ISBN  978-3-319-13467-3 .
• Харрингтон, Хизер А.; ВанГордер, Роберт А. (2017). «Понижение размерности нелинейных динамических систем» . Нелинейная динамика . 88 (1): 715–734. дои : 10.1007/s11071-016-3272-5 . ПМК   7089670 . ПМИД   32226227 . S2CID   254893812 .
• Юбер, Эвелин (2002). «Заметки о треугольных множествах и алгоритмах триангуляции-разложения II: Дифференциальные системы». Винклер, Франц; Лангер, Ульрих (ред.). Символические и численные научные вычисления. Вторая международная конференция, SNSC 2001, Хагенберг, Австрия, 12–14 сентября 2001 г. Пересмотренные статьи (PDF) . Берлин: Springer-Verlag. стр. 40–87. ISBN  3-540-40554-2 .
• Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк. ISBN  0-486-63832-4 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Каплански, Ирвинг (1976). Введение в дифференциальную алгебру (2-е изд.). Германн. ISBN  9782705612511 .
• Келлер, Корина (2019). Теория Черна-Саймонса и эквивариантные факторизационные алгебры . БестМастерс. Висбаден, Германия. дои : 10.1007/978-3-658-25338-7 . ISBN  978-3-658-25337-0 . S2CID   128325519 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Колчин, Эллис (1973). Дифференциальная алгебра и алгебраические группы . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-087369-5 .
• Лам, Тайвань (1991). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике. Том. 131. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4419-8616-0 . ISBN  0-387-97523-3 .
• Лэндо, Барбара А. (1970). «Граница Якоби для порядка систем дифференциальных уравнений первого порядка» . Труды Американского математического общества . 152 (1): 119–135. дои : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 . ISSN   0002-9947 .
• Ли, Вэй; Юань, Чун-Мин (февраль 2019 г.). «Теория исключения в дифференциальной и разностной алгебре» . Журнал системных наук и сложности . 32 (1): 287–316. дои : 10.1007/s11424-019-8367-x . S2CID   255158214 .
• Маркер, Дэвид (2000). «Модельная теория дифференциальных полей». В Хаскелле — Дейдра; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (ред.). Теория моделей, алгебра и геометрия (PDF) . Том. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 53–64. ISBN  0-521-78068-3 .
• Мэнсфилд, Элизабет (1991). Дифференциальные основы (доктор философии). Университет Сиднея.
• Моррисон, Салли (1 октября 1999 г.). «Дифференциальный идеал [P]: M∞» (PDF) . Журнал символических вычислений . 28 (4): 631–656. дои : 10.1006/jsco.1999.0318 . ISSN   0747-7171 .
• Паршин, Алексей Николаевич (1999). «О кольце формальных псевдодифференциальных операторов». Учеб. Стеклов Матем. Институт . 224 : 266–280. arXiv : math/9911098 . Бибкод : 1999math.....11098P .
• Ритт, Джозеф Фелс (1930). «Многообразия функций, определяемые системами алгебраических дифференциальных уравнений» (PDF) . Труды Американского математического общества . 32 (4): 569–598. дои : 10.1090/S0002-9947-1930-1501554-4 . S2CID   54064812 .
• Ритт, Джозеф (1932). дифференциальные уравнения с алгебраической точки зрения . Том. 14. Американское математическое общество.
• Ритт, Джозеф Фелс (1950). Дифференциальная алгебра . Том. 33. Провиденс, Род-Айленд: Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN  978-0-8218-3205-9 .
• Рота, Джан-Карло; Каханер, Дэвид; Одлизко, Андрей (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление» . Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–760. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .
• Сядьте, Уильям Ю. (2002). «Теория Ритта-Колчина для дифференциальных полиномов». Ин Го, Ли; Кэссиди, Филлис Дж; Кейгер, Уильям Ф; Сядьте, Уильям Ю. (ред.). Дифференциальная алгебра и смежные темы: материалы международного семинара, Ньюаркский кампус Ратгерса, Государственный университет Нью-Джерси, 2-3 ноября 2000 г. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. дои : 10.1142/4768 . ISBN  981-02-4703-6 .
• Стечлинский, Питер; Патраску, Майкл; Бартон, Пол И. (2018). «Негладкие дифференциально-алгебраические уравнения химической технологии» . Компьютеры и химическая инженерия . 114 : 52–68. дои : 10.1016/j.compchemeng.2017.10.031 . hdl : 1721.1/122980 . S2CID   49413118 .
• Тейлор, Майкл Э. (1991). Псевдодифференциальные операторы и нелинейные УЧП . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3595-4 .
• Ву, Вэнь-цюн (2005а). «О «хороших» базисах алгебро-дифференциальных идеалов» . Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Биркхойзер. стр. 343–350. дои : 10.1007/3-7643-7429-2_19 . ISBN  978-3-7643-7429-7 .
• Ву, Вэнь-цюн (2005b). «О построении базиса Грёбнера полиномиального идеала на основе теории Рикье – Жане» . Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Тенденции в математике. Биркхойзер. стр. 351–368. дои : 10.1007/3-7643-7429-2_20 . ISBN  978-3-7643-7429-7 .
• Жаринов В.В. (декабрь 2021 г.). «Уравнения Навье – Стокса, алгебраический аспект» (PDF) . Теоретическая и математическая физика . 209 (3): 1657–1672. arXiv : 2110.01504 . Бибкод : 2021TMP...209.1657Z . дои : 10.1134/S0040577921120011 . S2CID   238259977 .

Внешние ссылки

• На домашней странице Дэвида Маркера есть несколько онлайн-опросов, посвященных дифференциальным полям.