Разностная алгебра

Разностная алгебра — это раздел математики, занимающийся изучением разностных (или функциональных ) уравнений с алгебраической точки зрения. Разностная алгебра аналогична дифференциальной алгебре , но касается разностных уравнений, а не дифференциальных уравнений. Как самостоятельный предмет он был инициирован Джозефом Риттом и его учеником Ричардом Коном.

Разностные кольца, разностные поля и разностные алгебры

— Разностное кольцо это коммутативное кольцо. $R$ вместе с кольцевым эндоморфизмом $\sigma \colon R\to R$. Часто предполагается, что $\sigma$ является инъективным. Когда $R$ это поле, говорят о разностном поле . Классическим примером разностного поля является поле $K=\mathbb {C} (x)$ рациональных функций с разностным оператором $\sigma$ данный $\sigma (f(x))=f(x+1)$. Роль разностных колец в разностной алгебре аналогична роли коммутативных колец в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии . Морфизм разностных колец — это морфизм колец, коммутирующий с $\sigma$. Разностная алгебра над разностным полем $K$ это разностное кольцо $R$ с $K$-структура алгебры такая, что $K\to R$ является морфизмом разностных колец, т.е. $\sigma \colon R\to R$ простирается $\sigma \colon K\to K$. Разностная алгебра, являющаяся полем, называется расширением разностного поля .

Алгебраические разностные уравнения

Кольцо разностного полинома $K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}$ над разностным полем $K$ в (разностных) переменных $y_{1},\ldots ,y_{n}$ является кольцом полиномов над $K$ в бесконечном числе переменных $\sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)$. Это становится разностной алгеброй над $K$ расширяя $\sigma$ от $K$ к $K\{y\}$ как следует из именования переменных.

С помощью системы алгебраических разностных уравнений над $K$ один означает любое подмножество $F$ из $K\{y\}$. Если $R$ является разностной алгеброй над $K$ решения $F$ в $R$ являются

$\mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{ for all }}f\in F\}.$

Классически нас в основном интересуют решения в расширениях разностных полей $K$. Например, если $K=\mathbb {C} (x)$ и $R$ – поле мероморфных функций на $\mathbb {C}$ с оператором разности $\sigma$ данный $\sigma (f(x))=f(x+1)$, то тот факт, что гамма-функция $\Gamma$ удовлетворяет функциональному уравнению $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ можно переформулировать абстрактно как $\Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})$.

Разница сортов

Интуитивно, разностное многообразие в разностном поле $K$ – множество решений системы алгебраических разностных уравнений над $K$. Это определение необходимо уточнить, указав, где искать решения. Обычно решения ищут в так называемом универсальном семействе расширений разностных полей. $K$. Альтернативно, можно определить разностное многообразие как функтор из категории расширений разностного поля $K$ к категории множеств, которая имеет вид $R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)$ для некоторых $F\subseteq K\{y\}.$.

Между разностными многообразиями, определяемыми алгебраическими разностными уравнениями в переменных, существует взаимно однозначное соответствие. $y_{1},\ldots ,y_{n}$ и определенные идеалы в $K\{y\}$, а именно совершенные разностные идеалы $K\{y\}$. Одна из основных теорем разностной алгебры утверждает, что каждая возрастающая цепочка совершенных разностных идеалов в $K\{y\}$ конечно. Этот результат можно рассматривать как разностный аналог базовой теоремы Гильберта .

Приложения

Разностная алгебра связана со многими другими математическими областями, такими как дискретные динамические системы , комбинаторика , теория чисел или теория моделей . Хотя некоторые проблемы реальной жизни, такие как динамика населения , можно смоделировать с помощью алгебраических разностных уравнений, разностная алгебра также имеет приложения в чистой математике. Например, существует доказательство гипотезы Манина–Мамфорда методами разностной алгебры. Изучена модельная теория разностных полей.

См. также

• Конечная разница
• Рекуррентное отношение
• Функциональное уравнение
• Дифференциальная алгебра

Ссылки

• Александр Левин (2008), Разностная алгебра , Спрингер, ISBN   978-1-4020-6946-8
• Ричард М. Кон (1979), Разностная алгебра , RE Krieger Pub. Ко., ISBN   978-0-88275-651-6

Внешние ссылки

• Вибмер, Майкл (2013). Конспект лекций - Алгебраические разностные уравнения (PDF) . стр. 80 страниц.
• На домашней странице Зои Хатзидакис есть несколько онлайн-опросов, в которых обсуждается (теория моделей) разностных полей.