Задача Якоби, связанная

Проблема границы Якоби касается достоверности неравенства Якоби, которое представляет собой неравенство относительно абсолютной размерности дифференциального алгебраического многообразия с точки зрения его определяющих уравнений.Это одна из проблем Колчина .

Неравенство является дифференциально-алгебраическим аналогом теоремы Безу в аффинном пространстве. Хотя впервые сформулированная Якоби , в 1936 году Джозеф Ритт признал проблему нестрогой, поскольку у Якоби даже не было строгого понятия абсолютной размерности (Якоби и Ритт использовали термин «порядок», которому Ритт впервые дал строгое определение). используя понятие степени трансцендентности ). Интуитивно понятно, что абсолютная размерность — это количество констант интегрирования, необходимых для задания решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений .Математическое доказательство неравенства открыто с 1936 года.

Заявление

Позволять $(K,\partial )$ — дифференциальное поле нулевой характеристики и рассмотрим $\Gamma$ дифференциальное алгебраическое многообразие, определяемое исчезновением дифференциальных многочленов $u_{1},\ldots ,u_{n}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\partial }$. Если $\Gamma _{1}$ является неприводимой составляющей $\Gamma$ конечной абсолютной размерности, тогда

$a(\Gamma _{1})\leq J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}).$

На приведенном выше дисплее $J(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$ это *число Якоби*. Это определено как

$\max _{\sigma \in S_{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {ord} _{x_{i}}^{\partial }(u_{\sigma (i)})$.

Ссылки

• Ритт, Джозеф Ф. (1938). «Алгебраические аспекты теории дифференциальных уравнений» (PDF) . Обращения к полувековому юбилею Американского математического общества . Том. 2. АМС. стр. 35–55. ISBN  0-8218-0119-8 .
• Лэндо, Барбара А. (1970). «Граница Якоби для порядка систем дифференциальных уравнений первого порядка» . Труды Американского математического общества . 152 : 119–135. дои : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 .
• Оливье, Франсуа (2022). «Граница Якоби: результаты Якоби, переведенные на математические языки Кенига, Эгервари и Ритта». Применимая алгебра в технике, связи и вычислительной технике . arXiv : 2109.03620 . дои : 10.1007/s00200-022-00547-6 . S2CID   237440393 .