Радикальный идеал

Чтобы узнать о других радикалах, см. радикал кольца .

В теории колец разделе математики , радикал идеала , $I$ коммутативного кольца — это еще один идеал, определяемый тем свойством, что элемент $x$ находится в радикале тогда и только тогда, когда некоторая степень $x$ в $I$. Радикализация идеала называется радикализацией . ( Радикальный идеал или полупервичный идеал ) — это идеал, равный своему радикалу. Радикал первичного идеала — это первичный идеал .

Эта концепция обобщена на некоммутативные кольца в статье о полупервичных кольцах .

Определение

Радикал ​ идеала $I$ в коммутативном кольце $R$, обозначенный $\operatorname {rad} (I)$ или ${\sqrt {I}}$, определяется как

${\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},$

(Обратите внимание, что $I\subseteq {\sqrt {I}}$). Интуитивно, ${\sqrt {I}}$ получается взятием всех корней элементов $I$ внутри ринга $R$. Эквивалентно, ${\sqrt {I}}$ является прообразом идеала нильпотентных элементов ( нильрадикала ) факторкольца $R/I$ (через естественную карту $\pi \colon R\to R/I$). Последнее доказывает , что ${\sqrt {I}}$ является идеалом.

Если радикал $I$ конечно порождена , то некоторая степень ${\sqrt {I}}$ содержится в $I$. В частности, если $I$ и $J$ являются идеалами нётерова кольца , то $I$ и $J$ имеют одинаковый радикал тогда и только тогда, когда $I$ содержит некоторую силу $J$ и $J$ содержит некоторую силу $I$.

Если идеал $I$ совпадает со своим радикалом, то $I$ называется радикальным идеалом или полупервичным идеалом .

Примеры

• Рассмотрим кольцо $\mathbb {Z}$ целых чисел .
  1. Радикал идеала $4\mathbb {Z}$ целых чисел, кратных $4$ является $2\mathbb {Z}$.
  2. Радикал $5\mathbb {Z}$ является $5\mathbb {Z}$.
  3. Радикал $12\mathbb {Z}$ является $6\mathbb {Z}$.
  4. В целом радикал $m\mathbb {Z}$ является $r\mathbb {Z}$, где $r$ является произведением всех различных простых делителей $m$, наибольший безквадратный фактор $m$(см. Радикал целого числа ). Фактически, это обобщается на произвольный идеал (см. раздел «Свойства» ).
• Рассмотрим идеал $I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]$. Это тривиально показать ${\sqrt {I}}=(y)$ (используя основное свойство ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$), но мы даем несколько альтернативных методов: Радикальный ${\sqrt {I}}$ соответствует нильрадикалу ${\sqrt {0}}$ факторкольца $R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)$, который является пересечением всех простых идеалов факторкольца. Он содержится в радикале Джекобсона , который является пересечением всех максимальных являющихся ядрами гомоморфизмов полей . , идеалов Любой кольцевой гомоморфизм $R\to \mathbb {C}$ должен иметь $y$ в ядре, чтобы иметь корректно определенный гомоморфизм (если бы мы сказали, например, что ядро ​​должно быть $(x,y-1)$ состав $\mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C}$ было бы $\left(x,y^{4},y-1\right)$, что то же самое, что пытаться заставить $1=0$). С $\mathbb {C}$ , алгебраически замкнут любой гомоморфизм $R\to \mathbb {F}$ должен учитывать $\mathbb {C}$, поэтому нам нужно только вычислить пересечение $\{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}$ вычислить радикал $(0).$ Затем мы находим это ${\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.$

Свойства

В этом разделе будет продолжено соглашение о том, что I является идеалом коммутативного кольца. $R$:

• Это всегда правда, что ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$, т.е. радикализация является идемпотентной операцией. Более того, ${\sqrt {I}}$ — наименьший радикальный идеал, содержащий $I$.
• ${\sqrt {I}}$ является пересечением всех идеалов простых $R$ которые содержат $I$
  $${\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},$$
  и, таким образом, радикал простого идеала равен самому себе. Доказательство. С одной стороны, каждый простой идеал радикален, поэтому это пересечение содержит ${\sqrt {I}}$. Предполагать $r$ является элементом $R$ этого нет в ${\sqrt {I}}$, и разреши $S$ быть набором $\left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}$. По определению ${\sqrt {I}}$, $S$ должен быть непересекающимся с $I$. $S$также мультипликативно замкнуто . Таким образом, по варианту теоремы Крулля существует простой идеал ${\mathfrak {p}}$ который содержит $I$ и все еще не пересекается с $S$(см. Первичный идеал ). С ${\mathfrak {p}}$ содержит $I$, но нет $r$, это показывает, что $r$ не находится в пересечении простых идеалов, содержащих $I$. Это завершает доказательство. Это утверждение можно немного усилить: радикал $I$ является пересечением всех простых идеалов $R$ минимальны среди содержащих $I$.
• Если специализировать последнюю точку, то нильрадикал (множество всех нильпотентных элементов) равен пересечению всех простых идеалов $R$
  $${\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.$$
  Это свойство эквивалентно первому с помощью естественного отображения $\pi \colon R\to R/I$, что дает биекцию $u$:
  $$\left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,$$
  определяется $u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .$
• Идеальный $I$ в ринге $R$ радикально тогда и только тогда, когда факторкольцо $R/I$ уменьшен ​ .
• Радикал однородного идеала однороден.
• Радикал пересечения идеалов равен пересечению их радикалов: ${\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}$.
• Радикал первичного идеала является простым. Если радикал идеала $I$ максимально, то $I$ является первичным.
• Если $I$ это идеал, ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$. Поскольку простые идеалы являются радикальными идеалами, ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}$ для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$.
• Позволять $I,J$ быть идеалами кольца $R$. Если ${\sqrt {I}},{\sqrt {J}}$ комаксимальны то , $I,J$ комаксимальны.
• Позволять $M$ — конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом $R$. Затем
  $${\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}$$
  где $\operatorname {supp} M$ это поддержка ​ $M$ и $\operatorname {ass} M$ представляет собой множество связанных простых чисел $M$.

Приложения

Основной мотивацией изучения радикалов является Nullstellensatz Гильберта в коммутативной алгебре . Одна из версий этой знаменитой теоремы гласит, что для любого идеала $J$ в кольце полиномов $\mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ над алгебраически замкнутым полем $\mathbb {k}$, надо

$\operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}$

где

$\operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}$

и

$\operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.$

Геометрически это означает, что если многообразие $V$ вырезается полиномиальными уравнениями $f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0$, то единственные другие многочлены, обращающиеся в нуль на $V$ находятся в радикале идеала $(f_{1},\ldots ,f_{r})$.

Еще один способ выразить это: композиция $\operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}$ — оператор замыкания на множестве идеалов кольца.

См. также

• радикал Джейкобсона
• Нильрадикал кольца
• Настоящий радикал

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, Ян Г. (1994). Введение в коммутативную алгебру . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-40751-5 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-94268-8 . МР   1322960 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001