Минимальный простой идеал

В математике , особенно в коммутативной алгебре , некоторые простые идеалы, называемые минимальными простыми идеалами, играют важную роль в понимании колец и модулей . Понятие высоты и теорема Крулла о главном идеале используют минимальные простые идеалы.

Определение

Простой идеал P называется минимальным простым идеалом над идеалом I если он минимален среди всех простых идеалов, содержащих I. , (Примечание: если I — простой идеал, то I — единственное минимальное простое число над ним.) Простой идеал называется минимальным простым идеалом, если он является минимальным простым идеалом над нулевым идеалом .

Минимальный простой идеал над идеалом I в нётеровом кольце R — это в точности минимальное ассоциированное простое число (также называемое изолированным простым числом) числа $R/I$ ; например, из разложения I. первичного это следует ,

Примеры

В коммутативном артиновом кольце каждый максимальный идеал является минимальным простым идеалом.
В области целостности единственным минимальным простым идеалом является нулевой идеал.
В кольце Z целых чисел минимальные простые идеалы над ненулевым главным идеалом ( n ) являются главными идеалами ( p ), где p — простой делитель числа n . Единственный минимальный простой идеал над нулевым идеалом — это сам нулевой идеал. Аналогичные утверждения верны для любой области главных идеалов .
Если I — p - первичный идеал (например, символическая степень p ) , то p — единственный минимальный простой идеал I. над
Идеалы $(x)$ и $(y)$ — минимальные простые идеалы в $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ поскольку они являются расширением простых идеалов морфизма $\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y]/(xy)$ , содержат нулевой идеал (который не является простым, поскольку $x\cdot y=0\in (0)$ , но ни $x$ ни $y$ содержатся в нулевом идеале) и не содержатся ни в каком другом простом идеале.
В $\mathbb {C} [x,y,z]$ минимальные простые числа над идеалом $((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})$ идеалы $(x^{3}-y^{3}-z^{3})$ и $(x^{5}+y^{5}+z^{5})$ .
Позволять $A=\mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})$ и ${\overline {x}},{\overline {y}}$ изображения x , y в A. Затем $({\overline {x}})$ и $({\overline {y}})$ являются минимальными простыми идеалами A (иных нет). Позволять $D$ — множество делителей нуля в A . Затем ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ находится в D (поскольку он убивает ненулевое ${\overline {x}}^{2}{\overline {y}}-{\overline {x}}{\overline {y}}^{2}$ ) пока ни в $({\overline {x}})$ ни $({\overline {y}})$ ; так $({\overline {x}})\cup ({\overline {y}})\subsetneq D$ .

Характеристики

Все кольца считаются коммутативными и унитальными .

Над каждым собственным идеалом I в кольце имеется хотя бы один минимальный простой идеал. Для доказательства этого факта используется лемма Цорна . ^[1] Любой максимальный идеал, содержащий I, является простым, и такие идеалы существуют, поэтому множество простых идеалов, содержащих I, непусто. Пересечение убывающей цепочки простых идеалов является простым. Следовательно, множество простых идеалов, содержащее I, минимальный элемент, который является минимальным простым числом над I. имеет
Эмми Нётер показала, что в нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных простых идеалов над любым заданным идеалом. ^[2]^[3] Факт остается верным, если «нётеровость» заменить условиями восходящей цепи на радикальных идеалах .
Радикальный ${\sqrt {I}}$ любого собственного идеала I совпадает с пересечением минимальных простых идеалов над I . Это следует из того, что каждый простой идеал содержит минимальный простой идеал.
Множество делителей нуля данного кольца содержит объединение минимальных простых идеалов. ^[4]
Теорема Крулла о главном идеале гласит, что в нётеровом кольце каждое минимальное простое число над главным идеалом имеет высоту не более единицы.
Каждый собственный идеал I нетерова кольца содержит произведение возможно повторяющихся над ним минимальных простых идеалов (Доказательство: ${\sqrt {I}}=\bigcap _{i}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}$ является пересечением минимальных простых идеалов над I . Для n некоторых ${\sqrt {I}}^{n}\subset I$ и поэтому я содержит $\prod _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{n}$ .)
Главный идеал ${\mathfrak {p}}$ в кольце R является единственным минимальным простым числом над идеалом I тогда и только тогда, когда ${\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}$ , и такое Я есть ${\mathfrak {p}}$ -первичный, если ${\mathfrak {p}}$ является максимальным. Это дает локальный критерий минимального простого числа: простой идеал ${\mathfrak {p}}$ является минимальным простым числом над I тогда и только тогда, когда $IR_{\mathfrak {p}}$ это ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ -первичный идеал. Когда R — нётерово кольцо, ${\mathfrak {p}}$ является минимальным простым числом над I тогда и только тогда, когда $R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}$ является артиновым кольцом (т.е. ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ является нильпотентным модулем I ). Предварительный образ $IR_{\mathfrak {p}}$ под $R\to R_{\mathfrak {p}}$ является основным идеалом $R$ назвал ${\mathfrak {p}}$ - первичный И. компонент
Когда $A$ является нетеровым локальным , с максимальным идеалом $P$ , $P\supseteq I$ минимально более $I$ тогда и только тогда, когда существует число $m$ такой, что $P^{m}\subseteq I$ .

Равномерное кольцо

Для минимального простого идеала ${\mathfrak {p}}$ на местном ринге $A$ в общем-то, это не обязательно так $\dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A$ , Крулля размерность $A$ .

Нётеровское местное кольцо $A$ называется равномерным , если для каждого минимального простого идеала ${\mathfrak {p}}$ , $\dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A$ . Например, локальная нётерова область целостности и локальное кольцо Коэна–Маколея равномерны.

См. также равномерную схему и квазинесмешанное кольцо .

См. также

Примечания

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца , University of Chicago Press , MR 0345945

Дальнейшее чтение

[1] Капланский 1974 , с. 6

[2] Капланский 1974 , с. 59

[3] Эйзенбуд 1995 , с. 47

[4] Капланский 1974 , с. 57

[1]

[2]

[3]

[4]