Размер схемы

В алгебраической геометрии размерность схемы — это обобщение размерности алгебраического многообразия . Теория схем подчеркивает относительную точку зрения и, соответственно, относительная размерность морфизма схем важна также .

Определение

По определению, размерность схемы X - это размерность основного топологического пространства: верхняя грань длин ℓ цепей неприводимых замкнутых подмножеств:

$\emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.$

В частности, если $X=\operatorname {Spec} A$ простых идеалов (обратное включение), и поэтому размерность X в точности равна размерности Крулла A является аффинной схемой, то такие цепи соответствуют цепочкам .

Если Y — неприводимое замкнутое подмножество схемы X , то коразмерность Y в X — это верхняя грань длин ℓ цепочек неприводимых замкнутых подмножеств:

$Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.$

Неприводимое подмножество X является неприводимой компонентой X X тогда и только тогда, когда его коразмерность в равна нулю . Если $X=\operatorname {Spec} A$ аффинно, то коразмерность Y в X равна в точности высоте простого идеала, определяющего Y в X .

Примеры

• Если конечномерное векторное пространство V над полем рассматривать как схему над полем, тогда размерность схемы V такая же, как размерность векторного пространства V .
• Позволять $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,xz)$, к поле. Тогда он имеет размерность 2 (так как содержит гиперплоскость $H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}$ как неприводимый компонент). Если x — замкнутая точка X , то $\operatorname {codim} (x,X)$ равно 2, если x лежит в H , и равно 1, если оно находится в $X-H$. Таким образом, $\operatorname {codim} (x,X)$ для закрытых точек x может меняться.
• Позволять $X$ быть алгебраическим предмногообразием; т. е. интегральная схема конечного типа над полем $k$. Тогда размерность $X$ – степень трансцендентности функционального поля $k(X)$ из $X$ над $k$. Кроме того, если $U$ является непустым открытым подмножеством $X$, затем $\dim U=\dim X$.
• Пусть R — кольцо дискретного нормирования и $X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ аффинная линия над ним. Позволять $\pi :X\to \operatorname {Spec} R$ быть проекцией. $\operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}$ состоит из 2 пунктов, $s$ соответствующий максимальному идеалу и замкнутый и $\eta$ нулевой идеал и открытость. Затем волокна $\pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )$ соответственно закрытые и открытые. Мы отмечаем, что $\pi ^{-1}(\eta )$ имеет размерность один, пока $X$ имеет размерность $2=1+\dim R$ и $\pi ^{-1}(\eta )$ плотный в $X$. Таким образом, размерность замыкания открытого подмножества может быть строго больше, чем размерность открытого множества.
• Продолжая тот же пример, пусть ${\mathfrak {m}}_{R}$ — максимальный идеал R и $\omega _{R}$ генератор. Мы отмечаем, что $R[t]$ имеет максимальные идеалы высоты два и высоты один; а именно, ${\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)$ и ${\mathfrak {p}}_{2}=$ ядро $R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}$. Первый идеал ${\mathfrak {p}}_{1}$ является максимальным, поскольку $R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=$ поле дробей R . Также, ${\mathfrak {p}}_{1}$ имеет высоту единицу по теореме Крулла о главном идеале и ${\mathfrak {p}}_{2}$ имеет высоту два, так как ${\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}$. Следовательно,

$\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,$

а X неприводим.

Равномерная схема

Равномерная схема (или чисто размерная схема ) — это схема , все неприводимые компоненты которой имеют одну и ту же размерность (неявно предполагая, что все измерения четко определены).

Примеры

Все неприводимые схемы равномерны.

В аффинном пространстве объединение прямой и точки, не лежащей на прямой, не является равномерным. Вообще, если две замкнутые подсхемы некоторой схемы, не содержащие друг друга, имеют неравные размерности, то их объединение не является равномерным.

Если схема гладкая (например, этальная ) над Spec k для некоторого поля k , то каждая компонента связности (которая в этом случае фактически является неприводимой компонентой) равномерна.

Относительное измерение

Позволять $f:X\rightarrow Y$ — морфизм локально конечного типа между двумя схемами $X$ и $Y$. Относительный размер $f$ в какой-то момент $y\in Y$ это размер волокна ​ $f^{-1}(y)$. Если все непустые волокна имеют чисто одно измерение $n$, тогда говорят, что $f$ имеет относительный размер $n$.

См. также

• Теорема Клеймана
• Глоссарий теории схем
• Равномерное кольцо

Ссылки

• Уильям Фултон. (1998), Теория интерсекций , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks. «28 свойств схем/28.10 Размерность» .
• Авторы проекта Stacks. «29.29 Морфизмы заданной относительной размерности» .