Конечный морфизм

В алгебраической геометрии — конечный морфизм между двумя аффинными многообразиями. $X,Y$ — плотное регулярное отображение , индуцирующее изоморфное включение $k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]$ между их координатными кольцами , такие, что $k\left[X\right]$ является целым по $k\left[Y\right]$. Это определение можно распространить на квазипроективные многообразия такие, что регулярное отображение $f\colon X\to Y$ между квазипроективными многообразиями конечно, если любая точка $y\in Y$ имеет аффинную окрестность V такую, что $U=f^{-1}(V)$ является аффинным и $f\colon U\to V$ является конечным отображением (ввиду предыдущего определения, поскольку оно находится между аффинными многообразиями).

Определение по схемам

Морфизм f : X → Y схем Y называется конечным морфизмом, если имеет открытое покрытие аффинными схемами.

$V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}$

такой, что для каждого i ,

$f^{-1}(V_{i})=U_{i}$

является открытой аффинной подсхемой Spec A _i и ограничением f на U _i , которое индуцирует кольцевой гомоморфизм

$B_{i}\rightarrow A_{i},$

делает A _i модулем конечно порожденным над B _i . Также говорят, X конечно что над Y .

Фактически, f конечен тогда и только тогда, когда для каждой открытой аффинной подсхемы V = Spec B в Y прообраз V в X является аффинным в форме Spec A , где A является конечно порожденным B -модулем.

Например, для поля k любого ${\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])$ является конечным морфизмом, поскольку $k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}$ как $k[t]$-модули. Геометрически это, очевидно, конечно, поскольку это разветвленное n-листное накрытие аффинной прямой, вырождающееся в начале координат. Напротив, включение A ¹ − 0 в A ¹ не является конечным. (Действительно, полиномов Лорана кольцо k [ y , y ⁻¹ ] не является конечно порожденным как модуль над k [ y ].) Это ограничивает нашу геометрическую интуицию сюръективными семействами с конечными слоями.

Свойства конечных морфизмов

• Композиция двух конечных морфизмов конечна.
• Любая замена базы конечного морфизма f : X → Y конечна. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то результирующий морфизм X × _Y Z → Z конечен. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если A и C — (коммутативные) B -алгебры и A конечно порождена как B -модуль, то тензорное произведение A ⊗ _B C конечно порождено как C -модуль. Действительно, в качестве генераторов можно взять элементы a _i ⊗ 1, где a _i — заданные генераторы A как B -модуля.
• Замкнутые погружения конечны, поскольку они локально задаются формулой A → A / I , где I — идеал, соответствующий замкнутой подсхеме.
• Конечные морфизмы замкнуты, следовательно (в силу их устойчивости при замене базы) собственно . Это следует из о повышении в коммутативной алгебре. теоремы Коэна-Зейденберга
• Конечные морфизмы имеют конечные слои (т. е. они квазиконечные ). Это следует из того, что для поля k каждая конечная k -алгебра является артиновым кольцом . что для конечного сюръективного морфизма f : X → Y X Y и Связанное с этим утверждение состоит в том , имеют одинаковую размерность .
• По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. Это было показано Гротендиком, если морфизм f : X → Y локально конечного представления , что следует из других предположений, Y нётерово если .
• Конечные морфизмы одновременно проективны и аффинны .

См. также

• Словарь алгебраической геометрии
• Конечная алгебра

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343 . МР   0217086 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-3-642-37956-7 . ISBN  978-0-387-97716-4 .

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project