Размер Крулля

В коммутативной алгебре размерность Крулля R коммутативного кольца , названного в честь Вольфганга Крулля , является верхней границей длин всех цепочек простых идеалов . Размерность Крулля не обязательно должна быть конечной даже для нетерова кольца . В более общем смысле размерность Крулля может быть определена для модулей над, возможно, некоммутативными кольцами, как отклонение частично упорядоченного множества подмодулей.

Размерность Крулля была введена для того, чтобы дать алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия : размерность аффинного многообразия, определяемого идеалом I в кольце многочленов R, является размерностью Крулля кольца R / I .

Поле имеет размерность Крулля 0 k ; в более общем смысле, k [ x ₁ , ..., x _n ] имеет размерность Крулла n . Область главного идеала , не являющаяся полем, имеет размерность Крулля 1. Локальное кольцо когда каждый элемент его максимального идеала нильпотентен имеет размерность Крулля 0 тогда и только тогда , .

Есть несколько других способов определения размера кольца. Большинство из них совпадают с размерностью Крулля для нетеровых колец, но могут отличаться для ненетеровых колец.

Объяснение

Будем говорить, что цепочка простых идеалов вида ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$имеет длину n . То есть длина — это количество строгих включений, а не количество простых чисел; они отличаются на 1. Определим Крулля размерность $R$ быть верхней границей длин всех цепочек простых идеалов в $R$.

Учитывая простой идеал ${\mathfrak {p}}$ в R мы определяем высота ​ ${\mathfrak {p}}$, написано $\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})$, быть верхней границей длин всех цепочек простых идеалов, содержащихся в ${\mathfrak {p}}$, это означает, что ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}$. Другими словами, высота ${\mathfrak {p}}$ размерность Крулля локализации R в — ${\mathfrak {p}}$. Простой идеал имеет нулевую высоту тогда и только тогда, когда он является минимальным простым идеалом . Размерность Крулля кольца — это верхняя грань высот всех максимальных идеалов или всех простых идеалов. Высоту также иногда называют коразмерностью, рангом или высотой простого идеала.

В нётеровом кольце каждый простой идеал имеет конечную высоту. Тем не менее, Нагата привел пример нётерова кольца бесконечной размерности Крулла. Кольцо называется цепным, если любое включение ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$ простых идеалов можно расширить до максимальной цепочки простых идеалов между ${\mathfrak {p}}$ и ${\mathfrak {q}}$и любые две максимальные цепи между ${\mathfrak {p}}$и ${\mathfrak {q}}$ иметь одинаковую длину. Кольцо называется универсально цепным, если любая конечно порожденная алгебра над ним является цепной. Нагата привел пример нётеровского кольца, которое не является цепным.

В нётеровом кольце простой идеал имеет высоту не более n тогда и только тогда, когда он является минимальным простым идеалом над идеалом, порожденным n элементами ( теорема Крулла о высоте и ее обратная). Это означает, что для простых идеалов выполняется условие нисходящей цепи , таким образом, длины цепей, исходящих от простого идеала, ограничены числом образующих простого числа.

В более общем смысле высота идеала I — это нижняя грань высот всех простых идеалов, I. содержащих На языке алгебраической геометрии это коразмерность подмногообразия Spec( $R$), соответствующий I .

Схемы

Из определения спектра кольца Spec( R ), пространства простых идеалов кольца R , снабженного топологией Зарисского, легко следует, что размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, т.е. верхняя грань длин всех цепочек неприводимых замкнутых подмножеств. Это непосредственно следует из связи Галуа между идеалами R и замкнутыми подмножествами Spec( R ) и наблюдения, что по определению Spec( R ) каждый простой идеал ${\mathfrak {p}}$ R с соответствует общей точке замкнутого подмножества, связанного ${\mathfrak {p}}$ по связи Галуа.

Примеры

• Размерность кольца полиномов над полем k [ x ₁ , ..., x _n ] равна количеству переменных n . На языке алгебраической геометрии это говорит о том, что аффинное пространство размерности n над полем имеет размерность n , как и ожидалось. В общем, если R — нётерово кольцо размерности n , то размерность R [ x ] равна n + 1. Если отбросить нётерову гипотезу, то R [ x ] может иметь размерность где угодно между n + 1 и 2 n + 1.
• Например, идеал ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ имеет высоту 2, поскольку мы можем сформировать максимальную восходящую цепочку простых идеалов $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$.
• Учитывая неприводимый полином $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$, идеал $I=(f^{3})$ не является простым (поскольку $f\cdot f^{2}\in I$, но ни один из множителей не является), но мы можем легко вычислить высоту, поскольку наименьший простой идеал, содержащий $I$ это просто $(f)$.
• Кольцо целых чисел Z имеет размерность 1. В более общем смысле, любая область главных идеалов, не являющаяся полем, имеет размерность 1.
• Область целостности является полем тогда и только тогда, когда ее размерность Крулля равна нулю. Дедекиндовы области , не являющиеся полями (например, кольца дискретного нормирования ), имеют размерность единица.
• Размерность Крулля нулевого кольца обычно определяется как $-\infty$ или $-1$. Нулевое кольцо — единственное кольцо с отрицательной размерностью.
• Кольцо артиново тогда и только тогда, когда оно нётерово и его размерность Крулля не превышает 0.
• Целочисленное расширение кольца имеет ту же размерность, что и само кольцо.
• Пусть R — алгебра над полем k, являющимся областью целостности. Тогда размерность Крулля R меньше или равна степени трансцендентности поля частных R над k . Равенство имеет место, если R конечно порождена как алгебра (например, по лемме о нормализации Нётер ).
• Пусть R — нётерово кольцо, I — идеал и $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ — соответствующее градуированное кольцо (геометры называют его кольцом нормального конуса I . ) Тогда $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ является верхней границей высот максимальных идеалов R, содержащих I .
• Коммутативное нётерово кольцо нулевой размерности Крулля является прямым произведением конечного числа (возможно, одного) локальных колец нулевой размерности Крулля.
• Нётерово локальное кольцо называется кольцом Коэна–Маколея, если его размерность равна глубине . . регулярное локальное кольцо Примером такого кольца является
• Нётерова область целостности является уникальной областью факторизации тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным.
• Для коммутативного нётерова кольца эквивалентны три следующих условия: быть приведенным кольцом нулевой размерности Крулля, быть полем или прямым произведением полей, быть регулярным по фон Нейману .

Из модуля

Если R — коммутативное кольцо, а M — R -модуль, мы определяем размерность Крулла M как размерность Крулла фактора R, что делает M точным модулем . То есть определяем его по формуле:

$\dim _{R}M:=\dim(R/{\operatorname {Ann} _{R}(M)})$

где Ann _R ( M ), аннулятор , — ядро ​​естественного отображения R → End _R (M) кольца R в кольцо R -линейных эндоморфизмов кольца M .

На языке схем конечно порожденные модули интерпретируются как когерентные пучки , или обобщенные векторные расслоения конечного ранга .

Для некоммутативных колец

Размерность Крулля модуля над возможно некоммутативным кольцом определяется как отклонение частично упорядоченного множества подмодулей, упорядоченных по включению. Для коммутативных нётеровых колец это то же самое, что и определение с использованием цепочек простых идеалов. Два определения могут различаться для коммутативных колец, которые не являются нётеровыми.

См. также

• Аналитический спред
• Теория размерности (алгебра)
• Gelfand–Kirillov dimension
• функция Гильберта
• Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре
• Основная теорема Крулла об идеале
• Обычный местный звонок

Библиография

• Ирвинг Каплански , Коммутативные кольца (пересмотренная редакция) , University of Chicago Press , 1974, ISBN   0-226-42454-5 . Страница 32.
• Л.А. Бохуть; И.В. Львов; В.К. Харченко (1991). «I. Некоммуативные кольца». В Кострикин А.И .; Шафаревич И.Р. (ред.). Алгебра II . Энциклопедия математических наук. Том. 18. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-18177-6 . Раздел 4.7.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-36764-6
• Серр, Жан-Пьер (2000). Локальная алгебра . Монографии Шпрингера по математике (на немецком языке). дои : 10.1007/978-3-662-04203-8 . ISBN  978-3-662-04203-8 . OCLC   864077388 .