Отклонение частичного набора

В математике теории порядка отклонение ЧУ-множества — это порядковое число, измеряющее сложность ЧУ -множества . Частично упорядоченное множество также известно как частично упорядоченное множество.

Отклонение ЧУУ используется для определения размерности Крулла модуля над кольцом как отклонение его ЧУУ подмодулей.

Определение

Объявлено, что тривиальное ЧУУ (тот, в котором нет двух сравнимых элементов) имеет отклонение $-\infty$. Говорят , что нетривиальное ЧУ-множество, удовлетворяющее условию нисходящей цепи , имеет отклонение 0. Тогда, по индуктивности, ЧУ-множество имеет отклонение не более α (для порядкового номера α), если для каждой нисходящей цепочки элементов a ₀ > a ₁ >.. все ЧУУ элементов между n и n +1, кроме конечного числа _меньше , имеют _{α отклонение} . Отклонение (если оно существует) — это минимальное значение α, для которого это верно.

Не у каждого частичного набора есть отклонение. Следующие условия на ЧУМ эквивалентны:

• Посет имеет отклонение
• Противоположное частичное положение имеет отклонение
• ЧУ-множество не содержит подмножества , порядково изоморфного рациональным числам (с их стандартным числовым порядком).

Примеры

У множества положительных целых чисел отклонение 0: каждая нисходящая цепочка конечна, поэтому определяющее условие отклонения бессмысленно истинно .Однако его противоположное ЧУУ имеет отклонение 1.

Пусть k — алгебраически замкнутое поле, и рассмотрим частично упорядоченное множество идеалов кольца многочленов k[x] от одной переменной. Поскольку отклонение этого частичного множества является размерностью Крулла кольца, мы знаем, что оно должно быть равно 1. Это соответствует тому факту, что k[x] не имеет условия нисходящей цепи (поэтому отклонение больше нуля), но в любой нисходящей цепочке последовательные элементы расположены «близко друг к другу». Например, возьмем нисходящую цепочку идеалов $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ - это бесконечная нисходящая цепочка, но для любых двух последовательных слагаемых, скажем $(x^{n})$ и $(x^{n+1})$, между этими членами не существует бесконечной нисходящей цепочки идеалов k[x] .

Расширяя этот пример, рассмотрим кольцо полиномов от двух переменных k[x,y] , которое имеет размерность Крулла 2. Возьмем нисходящую цепочку $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$. Учитывая любые два соседних члена в этой цепочке, $(x^{n})$ и $(x^{n+1})$, существует бесконечная нисходящая цепь $(x^{n}y,x^{n+1})\supset (x^{n}y^{2},x^{n+1})\supset (x^{n}y^{3},x^{n+1})\supset ...$. Таким образом, мы можем найти такую ​​нисходящую цепочку, что между любыми двумя соседними членами существует еще одна бесконечная нисходящая цепочка - мы можем «вкладывать» нисходящие цепи на два слоя глубиной. Расширяя это, легко увидеть, что в кольцо полиномов от n переменных можно вкладывать нисходящие цепи в n слоев глубиной и не более. По сути, это и означает, что набор идеалов имеет отклонение n .

Ссылки

• МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , том. 30 (пересмотренная редакция), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2169-5 , МР   1811901