Идеальная теория

В математике идеальная теория — это теория идеалов в коммутативных кольцах . Хотя понятие идеала существует и для некоммутативных колец , гораздо более существенная теория существует только для коммутативных колец (поэтому в этой статье рассматриваются идеалы только в коммутативных кольцах).

Всюду в статьях кольца относятся к коммутативным кольцам. См. также статью «Идеал (теория колец)» , где описаны основные операции, такие как сумма или произведение идеалов.

Идеалы в конечно порожденной алгебре над полем

Идеалы в конечно порожденной алгебре над полем (т. е. фактор кольца многочленов над полем) ведут себя несколько лучше, чем идеалы в общем коммутативном кольце. Во-первых, в отличие от общего случая, если $A$ — конечно порожденная алгебра над полем, то радикал идеала в $A$ является пересечением всех максимальных идеалов, содержащих идеал (поскольку $A$ является кольцом Джекобсона ). Это можно рассматривать как расширение Nullstellensatz Гильберта , которое касается случая, когда $A$ является многочленным кольцом.

Топология, определяемая идеалом

Если I — идеал в кольце A , то он определяет топологию на A где подмножество U кольца A открыто, если для каждого x в U ,

x+I^{n}\subset U.

для некоторого целого числа $n>0$ . Эта топология называется I -адической топологией. Ее также называют -адической топологией, если $I=aA$ генерируется элементом $a$ .

Например, возьмите $A=\mathbb {Z}$ , кольцо целых чисел и $I=pA$ идеал, порожденный простым числом p . Для каждого целого числа $x$ , определять $|x|_{p}=p^{-n}$ когда $x=p^{n}y$ , $y$ премьер-министр $p$ . Тогда, очевидно,

x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})

где $B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |z-x|_{p}<r\}$ обозначает открытый шар радиуса $r$ с центром $x$ . Следовательно, $p$ -адическая топология на $\mathbb {Z}$ совпадает с топологией метрического пространства , заданной формулой $d(x,y)=|x-y|_{p}$ . Будучи метрическим пространством, $\mathbb {Z}$ может быть завершено . Полученное полное метрическое пространство имеет структуру кольца, которое расширило кольцевую структуру пространства. $\mathbb {Z}$ ; это кольцо обозначается как $\mathbb {Z} _{p}$ и называется кольцом целых p -адических чисел .

Идеальная группа класса

В дедекиндовой области А (например, кольце целых чисел в числовом поле или координатном кольце гладкой аффинной кривой) с полем дробей $K$ , идеал $I$ обратима в том смысле, что существует дробный идеал $I^{-1}$ (т.е. A -подмодуль $K$ ) такой, что $I\,I^{-1}=A$ , где произведение слева является произведением подмодулей K . Другими словами, дробные идеалы образуют группу под продуктом. Фактор группы дробных идеалов по подгруппе главных идеалов тогда является классов идеалов A группой .

В общем кольце идеал не может быть обратимым (фактически уже не ясно определение дробного идеала). Однако в нетеровой области целостности все же возможно разработать некоторую теорию, обобщающую ситуацию в дедекиндовых областях. Например, Ч. Бурбаки VII коммутативной алгебры дает такую теорию.

Группа идеальных классов A , если ее можно определить, тесно связана с группой Пикара спектра A . ) (часто это одно и то же; например, для областей Дедекинда

В теории алгебраических чисел, особенно в теории полей классов , удобнее использовать обобщение группы идеальных классов, называемое группой идельных классов .

Операции закрытия

Есть несколько операций над идеалами, которые играют роль замыканий. Самый основной из них – это радикальный идеал . Другой — интегральная замкнутость идеала . Учитывая неизбыточное первичное разложение $I=\cap Q_{i}$ , пересечение ул. $Q_{i}$ радикалы которых минимальны (не содержат радикалов других $Q_{j}$ 's) однозначно определяется $I$ ; это пересечение тогда называется несмешанной частью $I$ . Это также операция закрытия.

Данные идеалы $I,J$ в ринге $A$ , идеал

(I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)

называется насыщением $I$ относительно $J$ и является операцией замыкания (это понятие тесно связано с изучением локальных когомологий).

См. также плотное закрытие .

Теория редукции

Локальные когомологии в идеальной теории

Локальные когомологии иногда можно использовать для получения информации об идеале. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Позволять $M$ быть модулем над кольцом $R$ и $I$ идеал. Затем $M$ определяет пучок ${\widetilde {M}}$ на $Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)$ (ограничение на Y пучка, ассоциированного с M ). Развернув определение, можно увидеть:

\Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)

.

Здесь, $\Gamma _{I}(M)$ называется преобразованием идеальным $M$ относительно $I$ . ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Система параметров

Ссылки

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-68860-4 , MR 2266432 , заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 15 ноября 2019 г.