Плотное закрытие

В математике , в области коммутативной алгебры , плотное замыкание — это операция, определенная над идеалами в положительной характеристике . Его представили Мелвин Хохстер и Крейг Ханеке ( 1988 , 1990 ).

Позволять $R$ — коммутативное нётерово кольцо , содержащее поле характеристики $p>0$. Следовательно $p$ является простым числом .

Позволять $I$ быть идеалом $R$. Плотное закрытие $I$, обозначенный $I^{*}$, является еще одним идеалом $R$ содержащий $I$. Идеал $I^{*}$ определяется следующим образом.

$z\in I^{*}$ тогда и только тогда, когда существует $c\in R$, где $c$ не содержится ни в одном минимальном простом идеале $R$, такой, что $cz^{p^{e}}\in I^{[p^{e}]}$ для всех $e\gg 0$. Если $R$ сокращается, то вместо этого можно рассмотреть все $e>0$.

Здесь $I^{[p^{e}]}$ используется для обозначения идеала $R$ созданный $p^{e}$'-ые степени элементов $I$, называемый $e$степень Фробениуса ​ $I$.

Идеал называется плотно замкнутым, если $I=I^{*}$. Кольцо, в котором все идеалы плотно замкнуты, называется слабо $F$-регулярный (для Фробениуса регулярный). Предыдущий главный открытый вопрос в плотном замыкании заключался в том, коммутирует ли операция плотного замыкания с локализацией , и поэтому существует дополнительное понятие $F$-регулярный, говорящий о том, что все идеалы кольца по-прежнему плотно замкнуты в локализациях кольца.

Бреннер и Монски (2010) нашли контрпример свойству локализации плотного замыкания. Однако до сих пор остается открытым вопрос, каждый ли слабо $F$-обычное кольцо есть $F$-обычный. То есть, если каждый идеал в кольце плотно замкнут, верно ли, что каждый идеал в каждой локализации этого кольца также плотно замкнут?

Ссылки

• Бреннер, Хольгер; Монски, Пол (2010), «Жесткое замыкание не коммутирует с локализацией», Annals of Mathematics , Second Series, 171 (1): 571–588, arXiv : 0710.2913 , doi : 10.4007/annals.2010.171.571 , ISSN   0003- 486X , МР   2630050
• Хохстер, Мелвин; Хунеке, Крейг (1988), «Плотно закрытые идеалы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 18 (1): 45–48, doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15592-9 , ISSN   0002-9904 , МР   0919658
• Хохстер, Мелвин; Хунеке, Крейг (1990), «Точное замыкание, теория инвариантов и теорема Бриансона-Шкоды», Журнал Американского математического общества , 3 (1): 31–116, doi : 10.2307/1990984 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990984 , МР   1017784