Идеальное сокращение

Теория редукции восходит к влиятельной статье Норткотта и Риса 1954 года, в которой были представлены основные понятия. В алгебраической геометрии эта теория является одним из важнейших инструментов для получения подробной информации о поведении разрушений .

Для идеалов J ⊂ I в кольце R идеал J называется редукцией идеала I , если существует некоторое целое число m > 0 такое, что $JI^{m}=I^{m+1}$. Для таких идеалов непосредственно из определения имеют место следующие утверждения:

• Для любого к , $J^{k}I^{m}=J^{k-1}I^{m+1}=\cdots =I^{m+k}$.
• J с У нас одинаковый радикал и одинаковый набор минимальных простых идеалов над ними. (обратное неверно).

Если R — нётерово кольцо, то J — редукция I тогда и только тогда, когда алгебра Риса R [ It ] конечна над R [ Jt ]. (Это причина отношения к взрыву.)

Близкое к этому понятие – аналитическое распространение . По определению расслоенное конусное кольцо нётерова локального кольца ( R , ${\mathfrak {m}}$) вдоль идеала я есть

${\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {m}})\simeq \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/{\mathfrak {m}}I^{n}$.

Измерение Крулля ​ ${\mathcal {F}}_{I}(R)$ называется распространением I . аналитическим Учитывая сокращение $J\subset I$минимальное количество генераторов J равно как минимум аналитическому разбросу I . Кроме того, для бесконечных полей справедливо частичное обратное: если $R/{\mathfrak {m}}$ бесконечно, и если целое число $\ell$ — аналитический разброс I , то каждое сокращение I содержит сокращение, порожденное $\ell$ элементы.

Ссылки

• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-68860-4 , MR   2266432 , заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 29 мая 2022 г.