Gelfand–Kirillov dimension

В алгебре размерность Гельфанда –Кириллова (или размерность ГК ) правого модуля M над k -алгеброй A равна:

$\operatorname {GKdim} =\sup _{V,M_{0}}\limsup _{n\to \infty }\log _{n}\dim _{k}M_{0}V^{n}$

где верхняя грань берется по всем конечномерным подпространствам $V\subset A$ и $M_{0}\subset M$.

Говорят, что алгебра имеет полиномиальный рост , если ее размерность Гельфанда–Кириллова конечна.

Основные факты

• Размерность Гельфанда–Кириллова конечно порожденной коммутативной алгебры A над полем представляет собой размерность Крулла A A (или, что то же самое, степень трансцендентности поля частных над базовым полем).
• В частности, GK-размерность кольца полиномов $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ Это н .
• (Уорфилд) Для любого действительного числа r ≥ 2 существует конечно порожденная алгебра, размерность GK которой равна r .

В теории D-модулей

Дан правый модуль M над алгеброй Вейля. $A_{n}$, размерность Гельфанда–Кириллова M над алгеброй Вейля совпадает с размерностью M , которая по определению является степенью полинома Гильберта M . Это позволяет доказать аддитивность в коротких точных последовательностях для размерности Гельфанда–Кириллова и, наконец, доказать неравенство Бернштейна , которое утверждает, что размерность M должна быть не менее n . Это приводит к определению голономных D-модулей как модулей с минимальной размерностью n , и эти модули играют большую роль в геометрической программе Ленглендса .

Ссылки

• Смит, С. Пол; Чжан, Джеймс Дж. (1998). «Замечание о размерности Гельфанда – Кириллова» (PDF) . Труды Американского математического общества . 126 (2): 349–352. дои : 10.1090/S0002-9939-98-04074-X .
• Коутиньо: Букварь алгебраических D-модулей. Кембридж, 1995 г.

Дальнейшее чтение

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . Глава VI.