Символическая сила идеала

В алгебре и алгебраической геометрии дано коммутативное нётерово кольцо. $R$ и идеал $I$ в нем n -я символическая степень $I$ это идеал

$I^{(n)}=\bigcap _{P\in \operatorname {Ass} (R/I)}\varphi _{P}^{-1}(I^{n}R_{P})$

где $R_{P}$ это локализация ​ $R$ в $P$, мы установили $\varphi _{P}:R\to R_{P}$ является каноническим отображением кольца в его локализацию, а пересечение проходит через все связанные простые числа $R/I$.

Хотя это определение не требует $I$ Чтобы быть простым , это предположение часто используется, потому что в случае простого идеала символическая сила может быть эквивалентно определена как $I$- основной компонент $I^{n}$. Грубо говоря, он состоит из функций с нулями порядка n в многообразии, определяемом формулой $I$. У нас есть: $I^{(1)}=I$ и если $I$ является максимальным идеалом , то $I^{(n)}=I^{n}$.

Символические силы порождают следующую цепочку идеалов:

$I^{(0)}=R\supset I=I^{(1)}\supset I^{(2)}\supset I^{(3)}\supset I^{(4)}\supset \cdots$

Использование

Изучение и использование символических степеней имеет долгую историю в коммутативной алгебре . Знаменитое доказательство Крулля его теоремы о главном идеале существенно использует их. Впервые они возникли после того, как первичные разложения были доказаны для нётеровых колец . Зарисский использовал символические степени в своем исследовании аналитической нормальности алгебраических многообразий . Шевалле Знаменитая лемма о сравнении топологий утверждает, что в полной локальной области символических степеней топология любого простого числа тоньше , чем m -адическая топология . Важным шагом в теореме об исчезновении локальных когомологий Хартсхорна и Лихтенбаума является использование этой теоремы для простого числа. $I$ определяющие кривую в полной локальной области , степени $I$ являются конфинальными с символическими полномочиями $I$. Это важное свойство конфинальности было далее развито Шенцелем в 1970-х годах.

В алгебраической геометрии

Хотя генераторы обычных степеней ​ $I$ хорошо понимаются, когда $I$ задается через его образующие как $I=(f_{1},\ldots ,f_{k})$, во многих случаях до сих пор очень сложно определить генераторы символических сил $I$. Но в геометрической постановке имеется четкая геометрическая интерпретация в том случае, когда $I$ — радикальный идеал над алгебраически замкнутым полем характеристики нулевой .

Если $X$ — неприводимое многообразие , идеал исчезновения которого равен $I$, то степень дифференциальная $I$ всех функций состоит из $R$ которые исчезаютзаказать ≥ n на $X$, то есть

$I^{\langle n\rangle }:=\{f\in R\mid f{\text{ vanishes to order}}\geq n{\text{ on all of }}X\}.$

Или, что то же самое, если $\mathbf {m} _{p}$ является максимальным идеалом точки $p\in X$, $I^{\langle n\rangle }=\bigcap _{p\in X}\mathbf {m} _{p}^{n}$.

Теорема (Нагата, Зариский) Позволять $I$ быть простым идеалом в кольце многочленов $K[x_{1},\ldots ,x_{N}]$ над алгебраически замкнутым полем. Затем

$I^{(m)}=I^{\langle m\rangle }$

Этот результат можно распространить на любой радикальный идеал . Эта формулировка очень полезна, потому что в нулевой характеристике мы можем вычислить дифференциальные степени через генераторы как:

$I^{\langle m\rangle }=\left\langle f\mid {\frac {\partial ^{\mathbf {a} }f}{\partial x^{\mathbf {a} }}}\in I{\text{ for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {N} ^{N}{\text{ where }}|\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\leq m-1\right\rangle$

В качестве другой формулировки можно рассмотреть случай, когда базовое кольцо является кольцом многочленов над полем . В этом случае мы можем интерпретировать n -ю символическую степень как пучок всех ростков функций над $X=\operatorname {Spec} (R){\text{ vanishing to order}}\geq n{\text{ at }}Z=V(I)$Фактически, если $X$ — гладкое многообразие над идеальным полем , то

$I^{(n)}=\{f\in R\mid f\in \mathbf {m} ^{n}{\text{ for every closed point }}\mathbf {m} \in Z\}$

Сдерживание

Естественно рассмотреть вопрос о том, согласуются ли символические силы с обычными силами, т.е. $I^{n}=I^{(n)}$ держать? В целом это не так. Одним из примеров этого является главный идеал $P=(x^{4}-yz,\,y^{2}-xz,\,x^{3}y-z^{2})\subseteq K[x,y,z]$. Вот это у нас есть $P^{2}\neq P^{(2)}$. Однако, $P^{2}\subset P^{(2)}$ действительно, и обобщение этого включения хорошо понятно. Действительно, сдерживание $I^{n}\subseteq I^{(n)}$следует из определения. Далее известно, что $I^{r}\subseteq I^{(m)}$ тогда и только тогда, когда $m\leq r$. Доказательство следует из леммы Накаямы .

Было проведено обширное исследование другого сдерживания, когда символические силы содержатся в обычных силах идеалов, называемого проблемой сдерживания. И снова на этот вопрос есть легко сформулированный ответ, обобщенный в следующей теореме. Он был разработан Эйном, Лазарфельдом и Смитом в нулевой характеристике. и был расширен до положительной характеристики Хохстером и Хунеке. Обе их статьи основаны на результатах Ирены Суонсон в книге «Линейная эквивалентность идеальных топологий» (2000).

Теорема (Эйн, Лазарфельд, Смит; Хохстер, Хунеке) Пусть $I\subset K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}]$ быть однородным идеалом . Тогда включение

$I^{(m)}\subset I^{r}$ держится для всех $m\geq Nr.$

Позже было подтверждено, граница что $N$ в теореме нельзя ужесточить для общих идеалов. Однако, следуя заданному вопросу Боччи, Харборном и Хунеке было обнаружено, что в некоторых случаях существует лучшая оценка.

Теорема. Включение $I^{(m)}\subseteq I^{r}$ для всех $m\geq Nr-N+1$ держит

1. для произвольных идеалов характеристики 2;
2. для мономиальных идеалов произвольной характеристики
3. для идеалов d-звезд
4. для идеалов общих точек в $\mathbb {P} ^{2}{\text{ and }}\mathbb {P} ^{3}$

Ссылки

Слева направо: Брайан Харборн, Сандра Ди Рокко , Томаш Земберг и Томас Бауэр на МФО мини-семинаре «Линейная серия по алгебраическим многообразиям» , 2010 г.

Внешние ссылки

• Мелвин Хохстер , Математика 711: Лекция от 7 сентября 2007 г.