Jump to content

Полупервичное кольцо

(Перенаправлено с Semiprime Ideal )
Диаграмма Хассе части решетки идеалов целых чисел Z . Фиолетовый и зеленый узлы обозначают полупростые идеалы. Фиолетовые узлы — это первичные идеалы , а пурпурные и синие узлы — это первичные идеалы .

В теории колец , разделе математики, полупервичные идеалы и полупервичные кольца являются обобщениями простых идеалов и первичных колец . В коммутативной алгебре полупервичные идеалы также называются радикальными идеалами , а полупервичные кольца — то же самое, что приведенные кольца.

Например, в кольце целых чисел полупервичные идеалы являются нулевым идеалом вместе с идеалами вида где n целое число без квадратов . Так, является полупростым идеалом целых чисел (поскольку 30 = 2 × 3 × 5, без повторяющихся простых множителей), но нет (потому что 12 = 2 2 × 3, с повторяющимся простым множителем).

К классу полупервичных колец относятся полупримитивные кольца , первичные кольца и приведенные кольца .

Большинство определений и утверждений в этой статье содержатся в ( Lam 1999 ) и ( Lam 2001 ).

Определения

[ редактировать ]

Для коммутативного кольца R собственный идеал A является полупервичным идеалом, если A удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

  • Если х к находится в A для некоторого положительного целого числа k и элемента x из R тогда x находится в A. ,
  • Если y находится в R но не в A , все положительные целые степени y не находятся в A. ,

Последнее условие «замкнутости дополнения относительно степеней» аналогично тому, что дополнения простых идеалов замкнуты относительно умножения.

Как и в случае с простыми идеалами, это распространяется на некоммутативные кольца «идеально». Следующие условия являются эквивалентными определениями полупервичного идеала A в кольце R :

  • Для любого идеала J кольца R , если J к A для положительного натурального числа k то J A. ,
  • Для любого правого идеала J кольца R , если J к A для положительного натурального числа k то J A. ,
  • Для любого левого идеала J кольца R , если J к A для положительного натурального числа k то J A. ,
  • любого x в R , если xRx A , то x находится в A. Для

И здесь снова имеется некоммутативный аналог простых идеалов как дополнений к m-системам . Непустое подмножество S кольца R называется n-системой , если для любого s из S существует r из R такой, что srs находится в S . С учетом этого понятия к приведенному выше списку можно добавить еще один эквивалентный пункт:

  • R \ A — n-система.

Кольцо R называется полупервичным, если нулевой идеал является полупервичным. В коммутативном случае это эквивалентно тому, что R является приведенным кольцом , поскольку R не имеет ненулевых нильпотентных элементов. В некоммутативном случае кольцо просто не имеет ненулевых нильпотентных правых идеалов. Таким образом, хотя приведенное кольцо всегда полупервично, обратное неверно. [1]

Общие свойства полупервичных идеалов

[ редактировать ]

Начнем с того, что ясно, что первичные идеалы полупервичны, а для коммутативных колец полупервичный примарный идеал является первичным.

Хотя пересечение простых идеалов обычно не является простым, это полупервичный идеал. Вскоре будет показано, что верно и обратное: каждый полупервичный идеал является пересечением семейства простых идеалов.

Для любого идеала B в кольце R можно образовать следующие множества:

Набор является определением радикала B и , очевидно, является полупервичным идеалом, содержащим B , и фактически является наименьшим полупервичным идеалом, B. содержащим Приведенное выше включение иногда бывает правильным в общем случае, но для коммутативных колец оно превращается в равенство.

Согласно этому определению, идеал A является полупервичным тогда и только тогда, когда . На этом этапе также очевидно, что каждый полупервичный идеал на самом деле является пересечением семейства простых идеалов. Более того, это показывает, что пересечение любых двух полупервичных идеалов снова полупервично.

По определению R полупростое тогда и только тогда, когда , то есть пересечение всех простых идеалов равно нулю. Этот идеал также обозначается а также называемый Бэра нижним нильрадикалом , -Маккоя или первичным радикалом R радикалом Бэра .

Полупростые кольца Голди

[ редактировать ]

Правое кольцо Голди — это кольцо, которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую конечным рангом ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах своих подмножеств. Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те кольца, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Тогда теорема Артина –Веддерберна полностью определяет структуру этого кольца частных.

  1. ^ Полное кольцо матриц размера два на два над полем полупростое с ненулевыми нильпотентными элементами.
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
  • Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN.  978-0-387-95183-6 , МР   1838439
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b24430cc10b8f77b389f04e6efb01432__1697430060
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b2/32/b24430cc10b8f77b389f04e6efb01432.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Semiprime ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)