Полупервичное кольцо
В теории колец , разделе математики, полупервичные идеалы и полупервичные кольца являются обобщениями простых идеалов и первичных колец . В коммутативной алгебре полупервичные идеалы также называются радикальными идеалами , а полупервичные кольца — то же самое, что приведенные кольца.
Например, в кольце целых чисел полупервичные идеалы являются нулевым идеалом вместе с идеалами вида где n — целое число без квадратов . Так, является полупростым идеалом целых чисел (поскольку 30 = 2 × 3 × 5, без повторяющихся простых множителей), но нет (потому что 12 = 2 2 × 3, с повторяющимся простым множителем).
К классу полупервичных колец относятся полупримитивные кольца , первичные кольца и приведенные кольца .
Большинство определений и утверждений в этой статье содержатся в ( Lam 1999 ) и ( Lam 2001 ).
Определения
[ редактировать ]Для коммутативного кольца R собственный идеал A является полупервичным идеалом, если A удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Если х к находится в A для некоторого положительного целого числа k и элемента x из R тогда x находится в A. ,
- Если y находится в R но не в A , все положительные целые степени y не находятся в A. ,
Последнее условие «замкнутости дополнения относительно степеней» аналогично тому, что дополнения простых идеалов замкнуты относительно умножения.
Как и в случае с простыми идеалами, это распространяется на некоммутативные кольца «идеально». Следующие условия являются эквивалентными определениями полупервичного идеала A в кольце R :
- Для любого идеала J кольца R , если J к ⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
- Для любого правого идеала J кольца R , если J к ⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
- Для любого левого идеала J кольца R , если J к ⊆ A для положительного натурального числа k то J ⊆ A. ,
- любого x в R , если xRx ⊆ A , то x находится в A. Для
И здесь снова имеется некоммутативный аналог простых идеалов как дополнений к m-системам . Непустое подмножество S кольца R называется n-системой , если для любого s из S существует r из R такой, что srs находится в S . С учетом этого понятия к приведенному выше списку можно добавить еще один эквивалентный пункт:
- R \ A — n-система.
Кольцо R называется полупервичным, если нулевой идеал является полупервичным. В коммутативном случае это эквивалентно тому, что R является приведенным кольцом , поскольку R не имеет ненулевых нильпотентных элементов. В некоммутативном случае кольцо просто не имеет ненулевых нильпотентных правых идеалов. Таким образом, хотя приведенное кольцо всегда полупервично, обратное неверно. [1]
Общие свойства полупервичных идеалов
[ редактировать ]Начнем с того, что ясно, что первичные идеалы полупервичны, а для коммутативных колец полупервичный примарный идеал является первичным.
Хотя пересечение простых идеалов обычно не является простым, это полупервичный идеал. Вскоре будет показано, что верно и обратное: каждый полупервичный идеал является пересечением семейства простых идеалов.
Для любого идеала B в кольце R можно образовать следующие множества:
Набор является определением радикала B и , очевидно, является полупервичным идеалом, содержащим B , и фактически является наименьшим полупервичным идеалом, B. содержащим Приведенное выше включение иногда бывает правильным в общем случае, но для коммутативных колец оно превращается в равенство.
Согласно этому определению, идеал A является полупервичным тогда и только тогда, когда . На этом этапе также очевидно, что каждый полупервичный идеал на самом деле является пересечением семейства простых идеалов. Более того, это показывает, что пересечение любых двух полупервичных идеалов снова полупервично.
По определению R полупростое тогда и только тогда, когда , то есть пересечение всех простых идеалов равно нулю. Этот идеал также обозначается а также называемый Бэра нижним нильрадикалом , -Маккоя или первичным радикалом R радикалом Бэра .
Полупростые кольца Голди
[ редактировать ]Правое кольцо Голди — это кольцо, которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую конечным рангом ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах своих подмножеств. Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те кольца, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Тогда теорема Артина –Веддерберна полностью определяет структуру этого кольца частных.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Полное кольцо матриц размера два на два над полем полупростое с ненулевыми нильпотентными элементами.
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
- Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN. 978-0-387-95183-6 , МР 1838439