Теория Пикара – Вессио

В дифференциальной алгебре теория Пикара-Вессио представляет собой исследование расширения дифференциального поля , порожденного решениями линейного дифференциального уравнения , с использованием дифференциальной группы Галуа расширения поля. Основная цель - описать, когда дифференциальное уравнение можно решить с помощью квадратур, с точки зрения свойств дифференциальной группы Галуа. Теория была инициирована Эмилем Пикаром и Эрнестом Вессио примерно с 1883 по 1904 год.

Колчин (1973) и ван дер Пут и Сингер (2003) подробно описывают теорию Пикара – Вессио.

История

История теории Пикара-Вессио обсуждается Борелем (2001 , глава VIII).

Теория Пикара-Вессио была разработана Пикардом между 1883 и 1898 годами и Вессио с 1892 по 1904 год (подытожена в ( Picard 1908 , глава XVII) и Вессио ( 1892 , 1910 )). Основной результат их теории очень грубо гласит, что линейное дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах тогда и только тогда, когда его дифференциальная группа Галуа связна и разрешима . К сожалению, трудно точно сказать, что именно они доказали, поскольку понятие «разрешимости в квадратурах» не определено точно и не используется последовательно в их статьях. Колчин ( 1946 , 1948 ) дал точные определения необходимых понятий и доказал строгий вариант этой теоремы.

Колчин (1952) распространил теорию Пикара – Вессио на поля в частных производных (с несколькими коммутирующими выводами).

Ковачич (1986) описал алгоритм определения возможности решения однородных линейных уравнений второго порядка с помощью квадратур, известный как алгоритм Ковачича .

Расширения и кольца Пикара – Вессио

Расширение F ⊆ K дифференциальных полей называется расширением Пикара–Вессио, если все константы находятся в F и K можно сгенерировать путем присоединения решений однородного линейного обыкновенного дифференциального многочлена.

Кольцо Пикара –Вессио R над дифференциальным полем F — это дифференциальное кольцо над F , которое является простым (нет дифференциальных идеалов, кроме 0 и R ) и порождается как k -алгебра коэффициентами A и 1/det( A ), где A — обратимая матрица над F такая, что B = A ′ / A имеет коэффициенты из F . (Таким образом, A является фундаментальной матрицей для дифференциального уравнения y ′ = By .)

Лиувиллевы расширения

Расширение F ⊆ K дифференциальных полей называется лиувиллевым, если все константы находятся в F и K может быть сгенерировано путем присоединения конечного числа интегралов, экспоненты интегралов и алгебраических функций. Здесь интеграл от элемента a определяется как любое решение y ′ = a , а экспонента от интеграла от a определяется как любое решение y ′ = ay .

Расширение Пикара–Вессио является лиувиллевым тогда и только тогда, когда единичная компонента его дифференциальной группы Галуа разрешима ( Колчин 1948 , стр. 38, ван дер Пут и Сингер 2003 , теорема 1.39). Точнее, расширения с помощью алгебраических функций соответствуют конечным дифференциальным группам Галуа, расширения с помощью интегралов соответствуют подфакторам дифференциальной группы Галуа, которые являются 1-мерными и унипотентными, а расширения с помощью экспонент интегралов соответствуют подфакторам дифференциальной группы Галуа, которые равны 1 -мерные и редуктивные (торы).

Источники

Бойкерс, Фриц (1992), «8. Дифференциальная теория Галуа», в Вальдшмидте, Мишель; Мусса, Пьер; Удачи, Жан-Марк; и др. (ред.), От теории чисел к физике. Лекции совещания по теории чисел и физике, проходившего в Центре физики, Лез Уш (Франция), 7–16 марта 1989 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 413–439, ISBN 3-540-53342-7 , Збл 0813.12001
Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , История математики, том. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5 , МР 1847105
Колчин, Э.Р. (1946), «Теория Пикара – Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 32 (12): 308–311, Bibcode : 1946PNAS ... 32..308К , дои : 10.1073/пнас.32.12.308 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87871 , MR 0018168 , PMC 1078958 , PMID 16578224
Колчин, Э.Р. (1948), «Алгебраические матричные группы и теория Пикара – Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Анналы математики , вторая серия, 49 (1): 1–42, doi : 10.2307/1969111 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 1969111 , MR 0024884
Колчин, Э.Р. (1952), «Теория Пикара – Вессио полей в частных производных», Труды Американского математического общества , 3 (4): 596–603, doi : 10.2307/2032594 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032594 , MR 0049883
Колчин, Э.Р. (1973), Дифференциальная алгебра и алгебраические группы , Чистая и прикладная математика, вып. 54, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-417650-8 , МР 0568864
Ковачич, Джеральд Дж. (1986), «Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка», Журнал символических вычислений , 2 (1): 3–43, doi : 10.1016/S0747-7171(86)80010-4 , ISSN 0747-7171 , МР 0839134
Пикард, Эмиль (1908) [Впервые опубликовано в 1896 году], Traité d'analyse (на французском языке), vol. 3 (второе изд.), Готье-Виллар - через Интернет-архив.
ван дер Пут, Мариус; Сингер, Майкл Ф. (2003), Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений , Фундаментальные принципы математических наук, том. 328, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8 , МР : 1960772
Вессио, Эрнест (1892), «Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 3 (на французском языке), 9 : 197–280, doi : 10.24033/asens.372 , hdl : 2027 / hvd.32044102925955
Вессио, Эрнест (1910), «Элементарные методы интегрирования» , в Молк, Жюль (редактор), Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке), том. 3, Готье-Вилларс и Тойбнер, стр. 58–170

Внешние ссылки

Ковачич, Дж. Дж. (2005), теория Пикара – Вессио, алгебраические группы и групповые схемы (PDF)