Дифференциально замкнутое поле

В математике дифференциальное поле K называется дифференциально замкнутым если каждая конечная система дифференциальных уравнений с решением в некотором дифференциальном поле, расширяющем K , уже имеет решение в K. , Эту концепцию ввел Робинсон (1959) . Дифференциально замкнутые поля являются аналогамидля дифференциальных уравнений алгебраически замкнутых полей для полиномиальных уравнений.

Теория дифференциально замкнутых полей

Напомним, что дифференциальное поле — это поле, снабженное оператором дифференцирования . Пусть K — дифференциальное поле с оператором дифференцирования ∂.

• по Дифференциальный полином x — это многочлен от формальных выражений x , ∂x , ∂ ² x , ... с коэффициентами в K .
• Порядок — ненулевого дифференциального полинома по x это наибольшее n такое, что ∂ ^н в нем встречается x или −1, если дифференциальный полином является константой.
• Сепарант S f _n дифференциального полинома порядка ≥0 является производной f по ∂ ^н х .
• Поле констант K = 0 — это подполе элементов a с ∂ a .
• В дифференциальном поле K ненулевой характеристики p все p -е степени являются константами. Отсюда следует, что ни K, ни его поле констант не являются совершенными , если только ∂ не тривиально. Поле K с дифференцированием ∂ называется дифференциально совершенным, если оно имеет либо характеристику 0, либо характеристику p и каждая константа является p -й степенью элемента из K .
• — Дифференциально замкнутое поле это дифференциально совершенное дифференциальное поле K такое, что если f и g — дифференциальные многочлены такие, что S _f ≠ 0 и g ≠0 и f имеет порядок больший, чем у g существует некоторый x , то в K с f ( х )=0 и г ( х )≠0. (Некоторые авторы добавляют условие, что K имеет характеристику 0, и в этом случае S _f автоматически ненулевой, а K автоматически совершенный.)
• DCF _p — это теория дифференциально замкнутых полей характеристики p (где p равно 0 или простому числу).

Взяв g = 1 и f для любого обычного сепарабельного многочлена, мы покажем, что любое дифференциально замкнутое поле является сепарабельно замкнутым . В характеристике 0 это означает, что оно алгебраически замкнуто, но в характеристике p > 0 дифференциально замкнутые поля никогда не являются алгебраически замкнутыми.

В отличие от комплексных чисел в теории алгебраически замкнутых полей не существует естественного примера дифференциально замкнутого поля.Любое дифференциально совершенное поле K имеет дифференциальное замыкание — расширение простой модели , которое дифференциально замкнуто. Шелах показал, что дифференциальное замыкание единственно с точностью до изоморфизма K. над Шелах также показал, что простое дифференциально замкнутое поле характеристики 0 (дифференциальное замыкание рациональных чисел) не является минимальным ; это был довольно неожиданный результат, поскольку это не то, чего можно было бы ожидать по аналогии с алгебраически замкнутыми полями.

Теория DCF _p является полной и модельной (для p = 0 это было показано Робинсоном, а для p > 0 — Вудом (1973) ).Теория DCF _p является модельным спутником теории дифференциальных полей характеристики p . Это модельное завершение теории дифференциально совершенных полей характеристики p, если добавить в язык символ, дающий корень p -й степени из констант при p > 0. Теория дифференциальных полей характеристики p > 0 не имеет модельного пополнения, а в характеристике p = 0 такая же, как и теория дифференциально совершенных полей, поэтому DCF ₀ является ее модельным завершением.

Число дифференциально замкнутых полей некоторой бесконечной мощности κ равно 2 ^Мистер ; для несчетного κ это было доказано Шелахом (1973) , а для счетного κ — Грушовским и Соколовичем.

Топология Колчина

Колчина Топология на K ^м определяется путем взятия наборов решений систем дифференциальных уравнений над K от m в качестве базисных замкнутых множеств переменных. Как и топология Зарисского , топология Колчина нётерова .

d-конструируемое множество — это конечное объединение замкнутых и открытых множеств в топологии Колчина. Эквивалентно, d-конструируемый набор — это набор решений бескванторной или атомарной с параметрами в K. формулы

Удаление квантификатора

Подобно теории алгебраически замкнутых полей, теория DCF ₀ дифференциально замкнутых полей характеристики 0 исключает кванторы . Геометрическое содержание этого утверждения состоит в том, что проекция d-конструируемого множества d-конструируема. Он также исключает воображаемые модели, является завершенными и завершенными.

В характеристике p > 0 теория DCF _p исключает кванторы на языке дифференциальных полей с добавлением унарной функции r , которая является корнем p -й степени всех констант и равна 0 для элементов, которые не являются постоянными.

нулевая

Дифференциальная теорема о нулевой точке является аналогом в дифференциальной алгебре теоремы Гильберта о нулевой точке .

• Дифференциальный идеал или ∂-идеал — это идеал, замкнутый относительно ∂.
• Идеал называется радикальным, если он содержит все корни своих элементов.

Предположим, что К — дифференциально замкнутое поле характеристики 0. . Зайденберга Тогда дифференциальный nullstellensatz утверждает, что существует биекция между

• Радикальные дифференциальные идеалы в кольце дифференциальных полиномов от n переменных и
• ∂-замкнутые подмножества K ^н .

Это соответствие отображает ∂-замкнутое подмножество в идеал исчезающих на нем элементов и отображает идеал в его множество нулей.

Омега-стабильность

В характеристике 0 Блюм показал, что теория дифференциально замкнутых полей ω-стабильна и имеет ранг Морли ω. В ненулевой характеристике Вуд (1973) показал, что теория дифференциально замкнутых полей не является ω-стабильной, а Шелах (1973) более точно показал, что она стабильна , но не сверхстабильна .

См. также

• Дифференциальная теория Галуа

Ссылки

• Маркер, Дэвид (2000), «Модельная теория дифференциальных полей» (PDF) , Теория моделей, алгебра и геометрия , Math. наук. Рез. Инст. Опубл., т. 1, с. 39, Кембридж: Кембриджский университет. Пресс, стр. 53–63, МР   1773702.
• Робинсон, Абрахам (1959), «О концепции дифференциально замкнутого поля», Бюллетень Исследовательского совета Израиля (Раздел F) , 8F : 113–128, MR   0125016.
• Сакс, Джеральд Э. (1972), «Дифференциальное замыкание дифференциального поля» , Бюллетень Американского математического общества , 78 (5): 629–634, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12969-0 , MR   0299466
• Шела, Сахарон (1973), «Дифференциально замкнутые поля», Израильский математический журнал , 16 (3): 314–328, doi : 10.1007/BF02756711 , MR   0344116
• Вуд, Кэрол (1973), «Модельная теория дифференциальных полей характеристики p≠0», Proceedings of the American Mathematical Society , 40 (2): 577–584, doi : 10.1090/S0002-9939-1973-0329887-1 , JSTOR   2039417 , MR   0329887
• Вуд, Кэрол (1976), «Возвращение к модельной теории дифференциальных полей», Israel Journal of Mathematics , 25 (3–4): 331–352, doi : 10.1007/BF02757008
• Вуд, Кэрол (1998), «Дифференциально замкнутые поля», Теория моделей и алгебраическая геометрия , Конспект лекций по математике, том. 1696, Берлин: Springer, стр. 129–141, doi : 10.1007/BFb0094671 , ISBN.  978-3-540-64863-5 , МР   1678539