Ранг Морли

В математической логике ранг Морли введенный Майклом Д. Морли ( 1965 ), является средством измерения размера подмножества модели теории , , обобщающим понятие размерности в алгебраической геометрии .

Определение

Зафиксируйте теорию T помощью модели M. с Ранг Морли формулы φ, определяющей определимое (с параметрами) подмножество S из M является порядковым номером или -1 или ∞, определяемым путем сначала рекурсивного определения того, что означает, что формула имеет ранг Морли не ниже α для некоторого порядкового номера α .

• Ранг Морли не меньше 0, если S непусто.
• Для α порядкового ординала-преемника ранг Морли равен α, если в некотором элементарном расширении N множества M множество S имеет счетное бесконечное число непересекающихся определимых подмножеств S _i , каждое из которых имеет ранг не менее α − 1.
• Если α ненулевой предельный ординал , ранг Морли равен не менее α , если он равен не менее β для всех β, меньших α .

Ранг Морли тогда определяется как α, если он равен по крайней мере α , но не по крайней мере α + 1, и определяется как ∞, если он равен по крайней мере α для всех ординалов α , и определяется как −1, S если пустой.

Для определимого подмножества модели M (определенного формулой φ ) ранг Морли определяется как ранг Морли φ в любом ℵ ₀ - насыщенном элементарном M. расширении В частности, для ℵ ₀ -насыщенных моделей ранг Морли подмножества - это ранг Морли любой формулы, определяющей подмножество.

Если φ, определяющая S, имеет ранг α и S распадается не более чем на n < ω подмножеств ранга α , то φ говорят, что имеет степень Морли   n . Формула, определяющая конечное множество, имеет ранг Морли 0. Формула с рангом Морли 1 и степенью Морли 1 называется сильно минимальной . Сильно минимальная структура — это структура, в которой тривиальная формула x = x сильно минимальна. Ранг Морли и сильно минимальные структуры являются ключевыми инструментами в доказательстве теоремы Морли о категоричности и в более широкой области теоретико-модельной теории устойчивости .

Примеры

• Пустое множество имеет ранг Морли -1, и наоборот, все, что имеет ранг Морли -1, пусто.
• Подмножество имеет ранг Морли 0 тогда и только тогда, когда оно конечно и непусто.
• Если V — алгебраическое множество в K ^н Для алгебраически замкнутого поля K ранг Морли поля V совпадает с его обычной размерностью Крулля . Степень Морли V — это число неприводимых компонент максимальной размерности; это не то же самое, что его степень в алгебраической геометрии , за исключением случаев, когда его компоненты максимальной размерности являются линейными пространствами.
• Рациональные числа , рассматриваемые как упорядоченное множество , имеют ранг Морли ∞, поскольку оно содержит счетное дизъюнктное объединение определимых подмножеств, изоморфных себе.

См. также

• Гипотеза Черлина – Зильбера
• Группа конечного ранга Морли
• U-ранг

Ссылки

• Александр Боровик , Али Несин , «Группы конечного ранга Морли», Oxford Univ. Пресс (1994)
• Харта Б. Теория стабильности и ее варианты (2000), стр. 131–148 в журнале «Теория моделей, алгебра и геометрия » под редакцией Д. Хаскелла и др., Math. наук. Рез. Инст. Опубл. 39, Кембриджский университет. Press, New York, 2000. Содержит формальное определение ранга Морли.
• Дэвид Маркер Модельная теория дифференциальных полей (2000), стр. 53–63 в книге «Теория моделей, алгебра и геометрия » под редакцией Д. Хаскелла и др., Math. наук. Рез. Инст. Опубл. 39, Кембриджский университет. Пресс, Нью-Йорк, 2000.
• Морли, доктор медицины (1965), «Категоричность власти», Пер. амер. Математика. Соц. , 114 (2), Американское математическое общество : 514–538, doi : 10.2307/1994188 , JSTOR   1994188.
• Пиллэй, Ананд (2001) [1994], «Группа конечного ранга Морли» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Пиллэй, Ананд (2001) [1994], «Ранг Морли» , Математическая энциклопедия , EMS Press