Минимальная модель (теория множеств)

В теории множеств разделе математики, минимальная модель — это минимальная стандартная модель ZFC , .Минимальная модель была введена Шепердсоном ( 1951 , 1952 , 1953 ) и заново открыта Коэном (1963) .

Существование минимальной модели не может быть доказано в ZFC , даже если предположить, что ZFC непротиворечив , но следует из существования стандартной модели следующим образом. V существует множество W Если во вселенной фон Неймана , которое является стандартной моделью ZF, а κ — это набор ординалов, которые встречаются в W , то L _κ — класс конструктивных множеств W ординал . Если существует набор, являющийся стандартной моделью ZF, то наименьшим таким набором является такой L _κ . Это множество называется минимальной моделью ZFC и также удовлетворяет аксиоме конструктивности V=L. Из нисходящей теоремы Левенхайма – Скулема следует, что минимальная модель (если она существует как множество) является счетным множеством. Точнее, каждому элементу минимальной модели можно дать имя; другими словами, существует предложение первого порядка φ ( x ) такое, что s — единственный элемент минимальной модели, для которого φ ( s ) истинно.

Коэн (1963) предложил другую конструкцию минимальной модели в виде сильно конструктивных множеств, используя модифицированную форму конструктивной вселенной Гёделя.

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). Однако эти модели наборов нестандартны. В частности, они не используют обычные отношения членства и не являются достаточно обоснованными.

Если стандартной модели не существует, то минимальная модель не может существовать как набор. Однако в этом случае класс всех конструктивных множеств играет ту же роль, что и минимальная модель, и обладает аналогичными свойствами (хотя теперь это собственный класс, а не счетное множество).

Минимальная модель теории множеств не имеет других внутренних моделей , кроме самой себя. В частности, невозможно использовать метод внутренних моделей, чтобы доказать, что любое данное утверждение, истинное в минимальной модели (например, гипотеза континуума ), не доказуемо в ZFC.

Ссылки

Коэн, Пол Дж. (1963), «Минимальная модель теории множеств», Bull. амер. Математика. Соц. , 69 : 537–540, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10989-1 , MR 0150036
Шепердсон, Дж. К. (1951), «Внутренние модели теории множеств. I» (PDF) , Журнал символической логики , 16 (3), Ассоциация символической логики : 161–190, doi : 10.2307/2266389 , JSTOR 2266389 , MR 0045073
Шепердсон, Дж. К. (1952), «Внутренние модели теории множеств. II», Журнал символической логики , 17 (4), Ассоциация символической логики: 225–237, doi : 10.2307/2266609 , JSTOR 2266609 , MR 0053885
Шепердсон, Дж. К. (1953), «Внутренние модели теории множеств. III», Журнал символической логики , 18 (2), Ассоциация символической логики: 145–167, doi : 10.2307/2268947 , JSTOR 2268947 , MR 0057828