Полная теория модели

В теории моделей теория первого порядка называется модельно полной , если каждое вложение ее моделей является элементарным вложением . Эквивалентно, каждая формула первого порядка эквивалентна универсальной формуле.Это понятие было введено Абрахамом Робинсоном .

Модель-компаньон и завершение модели

Спутницей может быть вложена в теории Т является такая теория Т *, что каждая модель Т модель Т * и наоборот.

Модель -компаньон теории T — это модель T , которая является модельно полной. Робинсон доказал, что теория имеет не более одной модели-компаньона. Не каждая теория совместима с моделями, например теория групп. Однако если T является $\aleph _{0}$- категориальная теория , то у нее всегда есть модель-компаньон.

Пополнением модели теории T является модель-компаньон * такая, что для любой модели M теории T теория T * вместе с диаграммой M T является полной . Грубо говоря, это означает, что каждая модель T вкладывается в модель T уникальным образом *.

Если T * является моделью-компаньоном T , то следующие условия эквивалентны:

• T * — модельное завершение T
• T обладает свойством амальгамации .

Если T также имеет универсальную аксиоматизацию, оба вышеизложенных также эквивалентны:

• T * имеет исключение кванторов

Примеры

• Любая теория с исключением кванторов является модельно полной.
• Теория алгебраически замкнутых полей является модельным завершением теории полей. Модель завершена, но не завершена.
• Модельным завершением теории отношений эквивалентности является теория отношений эквивалентности с бесконечным числом классов эквивалентности, каждый из которых содержит бесконечное число элементов.
• Теория действительных замкнутых полей , на языке упорядоченных колец , является модельным завершением теории упорядоченных полей (или даже упорядоченных областей ).
• Теория действительных замкнутых полей на языке колец является моделью, дополняющей теорию формально вещественных полей , но не является завершением модели.

Непримеры

• Теория плотных линейных порядков с первым и последним элементом является полной, но не модельной.
• Теория групп (на языке с символами тождества, произведения и обратных чисел) обладает свойством амальгамации, но не имеет сопутствующей модели.

Достаточное условие полноты модельно-полных теорий.

Если T — модельная полная теория и существует модель T , которая встраивается в любую модель T , то T является полной.

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN  978-0-444-88054-3 .

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (2012) [1990]. Теория моделей . Дуврские книги по математике (3-е изд.). Дуврские публикации . п. 672. ИСБН  978-0-486-48821-9 .

• Хиршфельд, Йорам; Уилер, Уильям Х. (1975). «Модели-дополнения и модели-компаньоны». Форсирование, Арифметика, Разделительные кольца . Конспект лекций по математике. Том. 454. Спрингер. стр. 44–54. дои : 10.1007/BFb0064085 . ISBN  978-3-540-07157-0 . МР   0389581 .

• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для аспирантов по математике 217. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6 .

• Сарачино, Д. (август 1973 г.). «Модели-компаньоны для ℵ ₀ -категорических теорий». Труды Американского математического общества . 39 (3): 591–598.

• Симмонс, Х. (1976). «Большие и малые экзистенциально замкнутые структуры». Журнал символической логики . 41 (2): 379–390.