Стабильная теория

Для дифференциальных уравнений см. Теорию устойчивости .

В математической области теории моделей теория , называется стабильной если она удовлетворяет определенным комбинаторным ограничениям на свою сложность. Стабильные теории основаны на доказательстве теоремы о категоричности Морли и широко изучались как часть Сахарона Шела , теории классификации которая показала дихотомию: либо модели теории допускают хорошую классификацию, либо модели слишком многочисленны, чтобы на что-либо надеяться. разумной классификации. Первым шагом этой программы было показать, что если теория нестабильна, то ее модели слишком многочисленны, чтобы их можно было классифицировать.

Стабильные теории были преобладающим предметом чистой теории моделей с 1970-х по 1990-е годы, поэтому их исследование сформировало современную теорию моделей. и существует богатая основа и набор инструментов для их анализа. Основным направлением теории моделей является «теория нестабильности», которая пытается обобщить концепции теории устойчивости на более широкие контексты, такие как простые теории и теории NIP .

Мотивация и история

Общая цель теории моделей - изучить теорию первого порядка путем анализа сложности булевых алгебр (параметров) определимых множеств в ее моделях. Аналогичным образом можно проанализировать сложность стоун-двойственных булевых алгебр, которые являются типов пространствами . Стабильность ограничивает сложность этих пространств типов за счет ограничения их мощности . Поскольку типы представляют возможное поведение элементов в моделях теории, ограничение количества типов ограничивает сложность этих моделей.

Теория стабильности берет свое начало в Майклом Морли доказательстве 1965 года гипотезы Лося о категориальных теориях. В этом доказательстве ключевым понятием было понятие полностью трансцендентной теории, определяемой ограничением топологической сложности пространств типов. Однако Морли показал, что (для счетных теорий) это топологическое ограничение эквивалентно ограничению мощности, сильной форме устойчивости, которая теперь называется $\omega$-стабильность, и он широко использовал эту эквивалентность. В ходе обобщения теоремы Морли о категоричности на несчетные теории Фредерик Роуботтом обобщил $\omega$-стабильность за счет введения $\kappa$-стабильные теории для какого-то кардинала $\kappa$и, наконец, Шелах представил устойчивые теории.

Теория стабильности получила дальнейшее развитие в ходе программы теории классификации Шела. Основная цель этой программы состояла в том, чтобы показать дихотомию, согласно которой либо модели теории первого порядка могут быть хорошо классифицированы с точностью до изоморфизма, используя дерево кардинальных инвариантов (обобщающее, например, классификацию векторных пространств над фиксированным полем по их размерности ) или настолько сложны, что разумная классификация невозможна. Среди конкретных результатов этой теории классификации были теоремы о возможных спектральных функциях теории , подсчет числа моделей мощности. $\kappa$ как функция $\kappa$. Подход Шелы заключался в том, чтобы определить ряд «разделительных линий» для теорий. Разделительная линия — это такое свойство теории, что и она, и ее отрицание имеют сильные структурные последствия; один должен подразумевать, что модели теории хаотичны, а другой должен привести к теории положительной структуры. Стабильность была первой такой разделительной линией в программе теории классификации, и, поскольку было показано, что ее неудача исключает любую разумную классификацию, все дальнейшие работы могли предполагать, что теория стабильна. Таким образом, большая часть теории классификации была связана с анализом стабильных теорий и различных подмножеств стабильных теорий, определяемых дальнейшими разделительными линиями, такими как суперстабильные теории .

Одной из ключевых особенностей стабильных теорий, разработанных Шелой, является то, что они допускают общее понятие независимости, называемое независимостью без разветвления , обобщающее линейную независимость от векторных пространств и алгебраическую независимость от теории поля. Хотя независимость без разветвления имеет смысл в произвольных теориях и остается ключевым инструментом помимо стабильных теорий, она обладает особенно хорошими геометрическими и комбинаторными свойствами в стабильных теориях. Как и в случае с линейной независимостью, это позволяет определять независимые множества и локальные размерности как мощности максимальных экземпляров этих независимых множеств, которые четко определены при дополнительных гипотезах. Эти локальные измерения затем приводят к кардинальным инвариантам, классифицирующим модели с точностью до изоморфизма.

Определение и альтернативные характеристики

Пусть T — полная теория первого порядка.

Для данного бесконечного кардинала $\kappa$, Т ​ $\kappa$-стабилен , если для любого множества A мощности $\kappa$ в модели T множество S(A) полных типов над A также имеет мощность $\kappa$. Это наименьшая мощность S(A) , которая может быть такой же, как и $2^{\kappa }$. Для случая $\kappa =\aleph _{0}$, принято говорить, T что $\omega$-стабильный, а не $\aleph _{0}$-стабильный.

T стабилен , если он $\kappa$-стабилен для некоторого бесконечного кардинала $\kappa$.

Ограничения на кардиналов $\kappa$ для которых теория может одновременно $\kappa$-стабильные описываются спектром устойчивости , которая выделяет еще более укрощенное подмножество сверхстабильных теорий.

Распространенное альтернативное определение стабильных теорий состоит в том, что они не обладают свойством порядка . Теория обладает свойством порядка, если существует формула $\phi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ и две бесконечные последовательности кортежей $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$, $B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )$ в некоторой модели M такой, что $\phi$ определяет бесконечный полуграф на $A\times B$, то есть $\phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})$ верно в М $\iff i\leq j$. Это эквивалентно существованию формулы $\psi ({\bar {x}},{\bar {y}})$ и бесконечная последовательность кортежей $A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )$ в некоторой модели M такой, что $\psi$ определяет бесконечный линейный порядок на A , т.е. $\psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})$ верно в М $\iff i\leq j$.

Существует множество других характеристик стабильности. Как и в случае с полностью трансцендентными теориями Морли, ограничения устойчивости по мощности эквивалентны ограничению топологической сложности типовых пространств в терминах ранга Кантора-Бендиксона . Другая характеристика основана на свойствах независимости без разветвлений в стабильных теориях, таких как симметричность. Это характеризует стабильность в том смысле, что любая теория с абстрактным отношением независимости, удовлетворяющим определенным из этих свойств, должна быть стабильной, а отношение независимости должно быть неразветвляющейся независимостью.

Любое из этих определений, за исключением абстрактного отношения независимости, вместо этого может быть использовано для определения того, что означает стабильность отдельной формулы в данной теории T . Тогда T можно определить как стабильное, если каждая формула стабильна в T . Локализация результатов к стабильным формулам позволяет применять эти результаты к стабильным формулам в нестабильных теориях, и эта локализация к отдельным формулам часто бывает полезна даже в случае стабильных теорий.

Примеры и не примеры

В качестве нестабильной теории рассмотрим теорию ДЛО плотных линейных порядков без концов. Тогда атомарное отношение порядка обладает свойством порядка. Альтернативно, нереализованные 1-типы над множеством A соответствуют разрезам (обобщенным дедекиндовым разрезам , без требований, чтобы два множества были непустыми и чтобы нижний набор не имел наибольшего элемента) в порядке A , и существуют плотные порядки любой мощности $\kappa$ с $2^{\kappa }$-много сокращений.

Другая нестабильная теория — это теория графа Радо , где отношение атомных ребер обладает свойством порядка.

Для устойчивой теории рассмотрим теорию $ACF_{p}$ алгебраически замкнутых полей характеристики p , позволяющих $p=0$. Тогда если K — модель $ACF_{p}$, подсчет типов в множестве $A\subset K$ эквивалентно подсчету типов в поле k, сгенерированном A в K . Существует (непрерывная) биекция пространства n -типов над k в пространство простых идеалов в кольце многочленов $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$. Поскольку такие идеалы конечно порождены, существуют только $|k|+\aleph _{0}$ много, поэтому $ACF_{p}$ является $\kappa$-стабильный для всех бесконечных $\kappa$.

Некоторые дополнительные примеры стабильных теорий перечислены ниже.

• Теория любого модуля над кольцом (в частности, любая теория векторных пространств или абелевых групп ).

• Теория неабелевых свободных групп .

• Теория дифференциально замкнутых полей характеристики р . Когда $p=0$, теория $\omega$-стабильный.

• Теория любого нигде не плотного класса графов . К ним относятся классы графов с ограниченным расширением , которые, в свою очередь, включают плоские графы и любой класс графов ограниченной степени.

Геометрическая теория устойчивости

Теория геометрической устойчивости занимается тонким анализом локальной геометрии моделей и того, как их свойства влияют на глобальную структуру. Эта линия результатов позже сыграла ключевую роль в различных приложениях теории устойчивости, например, в диофантовой геометрии . Обычно принято начинать в конце 1970-х годов с Борисом Зильбером анализа абсолютно категоричных теорий, проведенного , который в конечном итоге показал, что они не являются конечно аксиоматизируемыми . Каждая модель полностью категоричной теории управляется (т.е. является простой и минимальной) сильно минимальным множеством, имеющим матроидную структуру. определяется (теоретическим модельным) алгебраическим замыканием , которое дает понятия независимости и размерности. В этом случае теория геометрической устойчивости затем задает локальный вопрос о том, каковы возможности структуры сильно минимального множества, и локально-глобальный вопрос о том, как сильно минимальное множество управляет всей моделью.

На второй вопрос отвечает лестничная теорема Зильбера, показывающая, что каждая модель полностью категорической теории построена из конечной последовательности чего-то вроде «определимых расслоений » над сильно минимальным множеством. По первому вопросу гипотеза трихотомии Зильбера заключалась в том, что геометрия сильно минимального множества должна быть либо подобна геометрии множества без структуры, либо множество должно по существу нести структуру векторного пространства, либо структуру алгебраически замкнутого поля. , причем первые два случая называются локально модульными. Эта гипотеза иллюстрирует две центральные темы. Во-первых, эта (локальная) модульность служит для отделения комбинаторного или линейного поведения от нелинейной, геометрической сложности, как в алгебраической геометрии . Во-вторых, эта сложная комбинаторная геометрия обязательно исходит из алгебраических объектов; это сродни классической проблеме поиска координатного кольца для абстрактной проективной плоскости, определяемой инцидентностями, и дополнительными примерами являются теоремы о конфигурации группы, показывающие, что определенные комбинаторные зависимости между элементами должны возникать в результате умножения в определимой группе. Разработав аналоги частей алгебраической геометрии в сильно минимальных множествах, таких как теория пересечений , Зильбер доказал слабую форму гипотезы трихотомии для несчетно категоричных теорий. Хотя Эхуд Грушовский разработал конструкцию Грушовского , чтобы опровергнуть полную гипотезу, позже она была доказана с помощью дополнительных гипотез в рамках «геометрии Зарисского».

Понятия из программы классификации Шела, такие как регулярные типы, разветвление и ортогональность, позволили довести эти идеи до большей общности, особенно в суперстабильных теориях. Здесь множества, определенные регулярными типами, играют роль сильно минимальных множеств, а их локальная геометрия определяется зависимостью разветвления, а не алгебраической зависимостью. Вместо одного строго минимального множества, управляющего моделями полностью категориальной теории, может быть много таких локальных геометрий, определяемых регулярными типами, и ортогональность описывает случаи, когда эти типы не взаимодействуют.

Приложения

Хотя стабильные теории имеют фундаментальное значение в теории моделей, в этом разделе перечислены приложения стабильных теорий в других областях математики. Этот список не стремится к полноте, а скорее к ощущению широты.

• Поскольку теория дифференциально замкнутых полей характеристики 0 $\omega$-стабильный, существует множество приложений теории устойчивости в дифференциальной алгебре . Например, существование и единственность дифференциального замыкания такого поля (аналога алгебраического замыкания) были доказаны Ленорой Блюм и Шелой соответственно, используя общие результаты о простых моделях в $\omega$-стабильные теории.

• В диофантовой геометрии Эхуд Грушовский использовал геометрическую теорию устойчивости для доказательства гипотезы Морделла-Ланга для функциональных полей во всех характеристиках, которая обобщает теорему Фалтингса о подсчете рациональных точек на кривых и гипотезу Манина-Мамфорда о подсчете точек кручения на кривых. Ключевым моментом доказательства было использование трихотомии Зильбера в дифференциальных полях, чтобы показать, что некоторые арифметически определенные группы являются локально модулярными.

• В онлайн-машинном обучении измерение Литлстоуна концептуального класса представляет собой меру сложности, характеризующую обучаемость, аналогичную измерению VC в PAC-обучении . Ограничение измерения Литтлстоуна концептуального класса эквивалентно комбинаторной характеристике устойчивости с использованием двоичных деревьев. Этот эквивалент использовался, например, для доказательства того, что онлайн-обучение концептуального класса эквивалентно дифференциально-частному обучению PAC.

• В функциональном анализе Жан -Луи Кривин и Бернар Морей определили понятие стабильности банаховых пространств , что эквивалентно утверждению, что ни одна формула без кванторов не обладает свойством порядка (в непрерывной логике, а не в логике первого порядка). Затем они показали, что каждое стабильное банахово пространство допускает почти изометрическое вложение ℓ ^п для некоторых $p\in [1,\infty )$. Это часть более широкого взаимодействия между функциональным анализом и стабильностью непрерывной логики; например, ранние результаты Александра Гротендика в функциональном анализе можно интерпретировать как эквивалент фундаментальных результатов теории устойчивости.

• Счетная (возможно, конечная) структура называется ультраоднородной , если каждый конечный частичный автоморфизм продолжается до автоморфизма полной структуры. Грегори Черлин и Алистер Лахлан представили общую теорию классификации стабильных ультраоднородных структур, включая все конечные. В частности, их результаты показывают, что для любого фиксированного конечного реляционного языка конечные однородные структуры распадаются на конечное число бесконечных семейств с членами, параметризованными числовыми инвариантами, и конечным числом спорадических примеров. Более того, каждый спорадический пример становится частью бесконечной семьи в каком-то более богатом языке, а новые спорадические примеры всегда появляются в достаточно богатых языках.

• В арифметической комбинаторике Грушовский доказал результаты о структуре приближенных подгрупп , например, подразумевая усиленную версию теоремы Громова о группах полиномиального роста . Хотя здесь не использовались напрямую стабильные теории, ключевым моментом было то, что фундаментальные результаты теории стабильных групп можно было обобщить и применить в этой ситуации. Это непосредственно привело к теореме Брейяра-Грина-Тао, классифицирующей приближенные подгруппы.

Обобщения

В течение примерно двадцати лет после ее появления стабильность была основным предметом чистой теории моделей. Центральное направление современной чистой теории моделей, иногда называемое «нестабильностью» или «теорией классификации». состоит из обобщения концепций и методов, разработанных для стабильных теорий, на более широкие классы теорий, и это легло во многие новейшие приложения теории моделей.

Двумя яркими примерами таких более широких классов являются простые теории и теории NIP. Это ортогональные обобщения стабильных теорий, поскольку теория одновременно проста и NIP тогда и только тогда, когда она стабильна. Грубо говоря, теории NIP сохраняют хорошее комбинаторное поведение стабильных теорий, в то время как простые теории сохраняют хорошее геометрическое поведение, обеспечивающее независимость от разветвлений. В частности, простые теории могут характеризоваться симметричностью независимости от разветвления, в то время как NIP можно охарактеризовать ограничением числа типов, реализованных на любом конечном или бесконечный наборы.

Другое направление обобщения — пересмотреть теорию классификации за пределами полных теорий первого порядка, например, в абстрактных элементарных классах .

См. также

• Спектр стабильности
• Спектр теории
• Теорема о категоричности Морли
• теории НПВ

Внешние ссылки

• Карта стабильности теоретико-модельной классификации теорий с указанием
• Две рецензии на книги, посвященные теории стабильности и классификации для теоретиков, не связанных с моделями: «Основы теории стабильности» и «Теория классификации».
• Обзор (геометрической) теории устойчивости для немодельных теоретиков