Спектр стабильности

В теории моделей , разделе математической логики , полная теория первого порядка T называется стабильной по λ (бесконечному кардинальному числу ), если пространство Стоуна каждой модели размера T ≤ λ само по себе имеет размер ≤ λ. T называется стабильной теорией , если не существует верхней оценки кардиналов κ такой, что T стабильна по κ. Спектр устойчивости T устойчив — это класс всех кардиналов κ таких, что T в κ.

Для счетных теорий возможны только четыре спектра устойчивости. Соответствующие разделительные линии - это линии полной трансцендентности , сверхстабильности и стабильности . Этот результат принадлежит Сахарону Шелаху , который также определил стабильность и сверхстабильность.

теорий счетных Теорема о спектре устойчивости

Теорема. первого порядка Всякая счетная полная теория T относится к одному из следующих классов:

T стабильно по X для всех бесконечных кардиналов X — T вполне трансцендентно.
T устойчив по λ точно для всех кардиналов λ, λ ≥ 2. ^ой— T сверхстабилен, но не полностью трансцендентален.
T устойчив по λ точно для всех кардиналов λ, удовлетворяющих λ = λ ^ой— T стабилен, но не сверхстабилен.
Т неустойчиво ни по какому бесконечному кардиналу X — Т неустойчиво.

Условие на λ в третьем случае выполняется для кардиналов вида λ = κ ^ой, но не для кардиналов λ конфинальности ω (поскольку λ < λ ^{cof λ}).

теории трансцендентальные Совершенно

Полная теория первого порядка T называется полностью трансцендентной , если каждая формула имеет ограниченный ранг Морли , т.е. если RM(φ) < ∞ для каждой формулы φ( x ) с параметрами в модели T , где x может быть набором переменных . Достаточно проверить, что RM( x = x ) < ∞, где x — одна переменная.

Для счетных теорий полная трансцендентность эквивалентна устойчивости в ω, и поэтому счетные вполне трансцендентные теории часто называют ω-стабильными для краткости . Полностью трансцендентная теория устойчива при любом λ ≥ | T |, следовательно, счетная ω-стабильная теория устойчива по всем бесконечным кардиналам.

Всякая неисчисляемая категоричная счетная теория вполне трансцендентна. Сюда входят полные теории векторных пространств или алгебраически замкнутых полей. Теории групп конечного ранга Морли — еще один важный пример полностью трансцендентных теорий.

Суперстабильные теории [ править ]

Полная теория первого порядка T является суперстабильной, если существует функция ранга полных типов, которая имеет по существу те же свойства, что и ранг Морли в полностью трансцендентной теории. Любая полностью трансцендентальная теория сверхстабильна. Теория T суперстабильна тогда и только тогда, когда она устойчива по всем кардиналам λ ≥ 2. ^{| Т |}.

теории Стабильные

Теория, устойчивая по одному кардиналу λ ≥ | Т | устойчив по всем кардиналам λ, удовлетворяющим λ = λ ^{| Т |}. Следовательно, теория устойчива тогда и только тогда, когда она устойчива по некоторому кардиналу λ ≥ | Т |.

теории Нестабильные

В эту категорию попадают наиболее интересные с математической точки зрения теории, включая сложные теории, такие как любое полное расширение теории множеств ZF, и относительно простые теории, такие как теория реальных замкнутых полей. Это показывает, что спектр устойчивости является относительно грубым инструментом. Чтобы получить более точные результаты, можно посмотреть на точные мощности пространств Стоуна над моделями размера ≤ λ, а не просто спрашивать, не превосходят ли они λ.

Неисчислимый случай [ править ]

Для общей стабильной теории T на, возможно, несчетном языке, спектр устойчивости определяется двумя кардиналами κ и λ ₀ , такими, что T устойчива по λ точно тогда, когда λ ≥ λ ₀ и λ ^м = λ для всех µ<κ. Итак, λ0 _— наименьший бесконечный кардинал, для которого T стабильно. Эти инварианты удовлетворяют неравенствам

κ ≤ | Т | ⁺
κ ≤ λ ₀
λ ₀ ≤ 2 ^{| Т |}
Если λ ₀ > | T |, то λ ₀ ≥ 2 ^ой

Когда | Т | счетен, 4 возможности его спектра устойчивости соответствуют следующим значениям этих кардиналов:

κ и λ0 _не определены: T неустойчиво.
λ ₀ равно 2 ^ой, κ есть ω ₁ : T стабильна, но не суперстабильна
λ ₀ равно 2 ^ой, κ есть ω: T суперстабилен, но не ω-стабилен.
λ0 _T есть ω, κ есть ω: вполне трансцендентно (или ω-стабильно)

См. также [ править ]

Спектр теории

Ссылки [ править ]

Пуаза, Бруно (2000), Курс теории моделей. Введение в современную математическую логику , Universitext, Нью-Йорк: Springer , стр. xxxii+443 , ISBN. 0-387-98655-3 , MR 1757487 Перевод с французского
Шела, Сахарон (1990) [1978], Теория классификации и количество неизоморфных моделей , Исследования по логике и основам математики (2-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9