Премьер-модель

В математике и, в частности, в теории моделей , Простая модель — это модель максимально простая . В частности, модель $P$ является простым, если оно допускает элементарное вложение в любую модель $M$ которому он элементарно эквивалентен (т.е. в любую модель $M$ удовлетворяющий той же полной теории, что и $P$).

Кардинальность

В отличие от понятия насыщенной модели , простые модели ограничены очень конкретной мощностью в соответствии с теоремой Левенхайма-Скулема . Если $L$ это язык первого порядка с мощностью $\kappa$ и $T$ это полная теория $L,$ то эта теорема гарантирует модель для $T$ мощности $\max(\kappa ,\aleph _{0}).$ Поэтому нет простой модели $T$ может иметь большую мощность, поскольку, по крайней мере, он должен быть элементарно заложен в такую ​​модель. Это все еще оставляет много двусмысленности в фактической мощности. В случае счетных языков все простые модели не более чем счетно бесконечны.

Отношения с насыщенными моделями

Существует двойственность определений простых и насыщенных моделей. Половина этой двойственности обсуждается в статье о насыщенных моделях , а другая половина заключается в следующем. В то время как насыщенная модель реализует как можно больше типов , простая модель реализует как можно меньше: это атомарная модель , реализующая только те типы, которые нельзя опустить , и опускающая остаток. Это можно интерпретировать в том смысле, что простая модель не допускает «излишеств»: в ней игнорируются любые необязательные характеристики модели.

Например, модель $\langle {\mathbb {N} },S\rangle$ — простая модель теории натуральных чисел N с операцией-преемником S ; непростая модель может быть $\langle {\mathbb {N} }+{\mathbb {Z} },S\rangle ,$ это означает, что существует копия полных целых чисел, которая не пересекается с исходной копией натуральных чисел в этой модели; в этом дополнении арифметика работает как обычно. Эти модели элементарно эквивалентны; их теория допускает следующую аксиоматизацию (устно):

1. Существует уникальный элемент, который не является преемником какого-либо элемента;
2. Никакие два различных элемента не имеют одного и того же преемника;
3. Ни один элемент не удовлетворяет S ^н ( x ) = x с n > 0.

Это, по сути, две аксиомы Пеано , а третья следует из первой по индукции (еще одна из аксиом Пеано). Любая модель этой теории состоит из непересекающихся копий полных целых чисел в дополнение к натуральным числам, поскольку после создания подмодели из 0 все оставшиеся точки бесконечно допускают как предшественников, так и преемников. Это схема доказательства того, что $\langle {\mathbb {N} },S\rangle$ является премьер-моделью.

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , исследования логики и основы математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0-444-88054-3