Атомная модель (математическая логика)

В теории моделей , подразделе математической логики , атомная модель — это модель, в которой полный тип каждого кортежа аксиоматизируется одной формулой . Такие типы называются главными типами , а формулы, которые их аксиоматизируют, — полными формулами .

Определения

Пусть T — теория . Полный тип p ( x1 _, ..., xn ₎ называется главным или атомарным (относительно T ), если он аксиоматизируется относительно T единственной формулой φ ( x1 _xn ,... ) _, ∈ p ( х ₁ , ..., х _п ).

Формула φ называется полной в T, если для каждой формулы ψ ( x ₁ , ..., x _n ) теория T ∪ { φ } влечет за собой ровно одно из ψ и ¬ ψ . Отсюда следует, что полный тип является главным тогда и только тогда, когда он содержит полную формулу.

Модель M называется атомарной если каждый n -кортеж элементов M удовлетворяет формуле, полной в Th( M ) — теории M. ,

Примеры

• Упорядоченное поле действительных алгебраических чисел является единственной атомарной моделью теории вещественных замкнутых полей .
• Любая конечная модель атомарна.
• Плотный линейный порядок без конечных точек является атомарным.
• Любая простая модель теории счетной является атомарной по теореме об исключении типов .
• Любая счетная атомная модель является простой, но существует множество атомных моделей, которые не являются простыми, например несчетный плотный линейный порядок без конечных точек.
• Теория счетного числа независимых унарных отношений полна, но не имеет завершаемых формул и атомарных моделей.

Свойства

Метод «туда-обратно» можно использовать, чтобы показать, что любые две счетные атомные модели теории, которые элементарно эквивалентны изоморфны , .

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990), Теория моделей , Исследования по логике и основам математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0-444-88054-3
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-58713-6