Абстрактный элементарный класс

В теории моделей , дисциплине в рамках математической логики , абстрактный элементарный класс , или сокращенно AEC , представляет собой класс моделей с частичным порядком, аналогичным отношению элементарной подструктуры элементарного класса в теории моделей первого порядка . Их представил Сахарон Шелах . ^[1]

Определение [ править ]

$\langle K,\prec _{K}\rangle$ , для $K$ класс структур в каком-то языке $L=L(K)$ , является AEC, если он имеет следующие свойства:

$\prec _{K}$ это частичный заказ на $K$ .
Если $M\prec _{K}N$ затем $M$ является подструктурой $N$ .
Изоморфизмы : $K$ замкнуто относительно изоморфизмов , и если $M,N,M',N'\in K,$ $f\colon M\simeq M',$ $g\colon N\simeq N',$ $f\subseteq g,$ и $M\prec _{K}N,$ затем $M'\prec _{K}N'.$
Согласованность : если $M_{1}\prec _{K}M_{3},$ $M_{2}\prec _{K}M_{3},$ и $M_{1}\subseteq M_{2},$ затем $M_{1}\prec _{K}M_{2}.$
Тарского – Воота Цепные аксиомы : Если $\gamma$ $\гамма$ является порядковым номером и $\{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K$ $\{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K$ представляет собой цепочку (т. $\alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }$ $\alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }$ ), затем:
- $\bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K$
- Если $M_{\alpha }\prec _{K}N$ , для всех $\alpha <\gamma$ , затем $\bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N$
Левенхайма – Скулема Аксиома : существует кардинальное $\mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}$ , такой, что если $A$ является частью вселенной $M$ , то есть $N$ в $K$ чья вселенная содержит $A$ такой, что $\|N\|\leq |A|+\mu$ и $N\prec _{K}M$ . Мы позволяем $\operatorname {LS} (K)$ обозначаем наименьший такой $\mu$ и назовем его числом Левенгейма– Скулема $K$ .

Обратите внимание, что нас обычно не интересуют модели размером меньше числа Левенгейма–Скулема, и мы часто предполагаем, что их нет (мы примем это соглашение в этой статье). Это оправдано, поскольку мы всегда можем удалить все такие модели из АЭК, не влияя на его структуру выше числа Левенгейма–Скулема.

А $K$ -вложение - это карта $f:M\rightarrow N$ для $M,N\in K$ такой, что $f[M]\prec _{K}N$ и $f$ является изоморфизмом из $M$ на $f[M]$ . Если $K$ ясно из контекста, мы опускаем его.

Примеры [ править ]

Ниже приведены примеры абстрактных элементарных классов: ^[2]

Элементарный класс — это самый простой пример AEC: если T — теория первого порядка, то класс $\operatorname {Mod} (T)$ моделей T вместе с элементарной подструктурой образует АЭК с числом Левенгейма–Скулема |T| .
Если $\phi$ это предложение в бесконечной логике $L_{\omega _{1},\omega }$ , и ${\mathcal {F}}$ является счетным фрагментом, содержащим $\phi$ , затем $\langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle$ представляет собой AEC с числом Левенхайма – Сколема. $\aleph _{0}$ . Это можно обобщить на другие логики, например $L_{\kappa ,\omega }$ , или $L_{\omega _{1},\omega }(Q)$ , где $Q$ выражает «существует бесчисленное множество».
Если T теория первого порядка — счетная суперстабильная , то множество $\aleph _{1}$ -насыщенные модели T вместе с элементарной субструктурой представляют собой АЭК с числом Левенгейма – Скулема. $2^{\aleph _{0}}$ .
Псевдоэкспоненциальные поля Зильбера образуют АЭК.

Общие предположения [ править ]

AEC являются очень общими объектами, и при их изучении обычно делаются некоторые из следующих предположений:

AEC имеет совместное встраивание , если любые две модели могут быть встроены в общую модель.
AEC не имеет максимальной модели , если любая модель имеет правильное расширение.
АЭК $K$ имеет объединение, если для любой тройки $M_{0},M_{1},M_{2}\in K$ с $M_{0}\prec _{K}M_{1}$ , $M_{0}\prec _{K}M_{2}$ , есть $N\in K$ и вложения $M_{1}$ и $M_{2}$ внутри $N$ это исправить $M_{0}$ точечно.

Обратите внимание, что в элементарных классах совместное вложение имеет место всякий раз, когда теория полна , тогда как объединение и отсутствие максимальных моделей являются хорошо известными следствиями теоремы о компактности . Эти три предположения позволяют нам построить универсальную модель-однородную модель монстра. ${\mathfrak {C}}$ , точно так же, как и в элементарном случае.

Еще одно предположение, которое можно сделать, — это прирученность .

Шелы категоричности Гипотеза о

Шелах представил AEC, чтобы обеспечить единую основу для обобщения теории классификации первого порядка . Теория классификации началась с теоремы Морли о категоричности , поэтому естественно задаться вопросом, справедлив ли аналогичный результат для AEC. Это конечная гипотеза о категоричности Шелы . В нем говорится, что для категоричности должно быть число Ханфа:

Для каждого AEC K должен быть кардинал $\mu$ в зависимости только от $\operatorname {LS} (K)$ такая, что если K категоричен в некотором $\lambda \geq \mu$ (т.е. K имеет ровно одну (с точностью до изоморфизма) модель размера $\lambda$ ), то K категоричен в $\theta$ для всех $\theta \geq \mu$ .

Шелах также выдвинул несколько более сильных гипотез: кардинальным порогом категоричности является число Ханфа псевдоэлементарных классов в языке мощности LS(K). Точнее, когда класс написан на счетном языке и аксиоматичен с помощью $L_{\omega _{1},\omega }$ предложение, пороговое число категоричности равно $\beth _{\omega _{1}}$ . Это предположение датируется 1976 годом.

Было опубликовано несколько приближений (см., например, раздел результатов ниже), предполагающих теоретико-множественные предположения (такие как существование больших кардиналов или вариации обобщенной гипотезы континуума ) или теоретико-модельные предположения (такие как слияние или приручение). По состоянию на 2014 год исходная гипотеза остается открытой.

Результаты [ править ]

Ниже приведены некоторые важные результаты, касающиеся AEC. За исключением последнего, все результаты принадлежат Шеле.

Теорема Шела о представлении : ^[3] Любой AEC $K$ является $\operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ : это сокращение класса моделей теории первого порядка, опускающее не более $2^{\operatorname {LS} (K)}$ типы .
Номер Ханфа за существование : ^[4] Любой AEC $K$ у которого есть модель размера $\beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}$ имеет модели сколь угодно больших размеров.
Объединение категоричности : ^[5] Если K является категориальным AEC в $\lambda$ и $\lambda ^{+}$ и $2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}$ , то K имеет объединение для моделей размера $\lambda$ .
Существование из категоричности : ^[6] Если К – это $\operatorname {PC} _{\aleph _{0}}$ AEC с числом Левенхайма – Сколема $\aleph _{0}$ и K категоричен в $\aleph _{0}$ и $\aleph _{1}$ , то K имеет модель размера $\aleph _{2}$ . В частности, ни один приговор $L_{\omega _{1},\omega }(Q)$ может иметь ровно одну несчетную модель.
Приближения к гипотезе о категоричности Шела :
- Переход вниз от преемника : ^[7] Если K — абстрактный элементарный класс с объединением, которое является категориальным в «достаточно высоком» преемнике $\lambda$ , то K категоричен во всех достаточно высоких $\mu \leq \lambda$ .
- Гипотеза о категоричности Шела для преемника крупных кардиналов : ^[8] Если существует класс сильно компактных кардиналов , то гипотеза о категоричности Шела справедлива, когда мы начинаем с категоричности в преемнике.

См. также [ править ]

Прирученный абстрактный элементарный класс

Примечания [ править ]

^ Шела 1987 .
^ Гроссберг 2002 , Раздел 1.
^ Гроссберг 2002 , Теорема 3.4.
^ Гроссберг 2002 , Следствие 3.5. Обратите внимание, что там опечатка и что $2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ следует заменить на $2^{\operatorname {LS} (K)}$ .
^ Гроссберг 2002 , Теорема 4.3.
^ Гроссберг 2002 , Теорема 5.1.
^ Шела 1999 .
^ Это заслуга Уилла Бони, но объединяет результаты многих людей, включая Гроссберга, Маккая, Шела и ВанДиерена. Доказательство приведено в Boney 2014 , теорема 7.5.

Ссылки [ править ]

Шела, Сахарон (1987), Джон Т. Болдуин (ред.), Классификация неэлементарных классов II. Абстрактные элементарные классы , Конспект лекций по математике, вып. 1292, Springer-Verlag, стр. 419–497.
Шела, Сахарон (1999), «Категоричность абстрактных классов с объединением» (PDF) , Annals of Pure and Applied Logic , 98 (1): 261–294, arXiv : math/9809197 , doi : 10.1016/s0168-0072(98) )00016-5 , S2CID 27872122
Гроссберг, Рами (2002), «Теория классификации абстрактных элементарных классов» (PDF) , Логика и алгебра , Современная математика, том. 302, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–204, CiteSeerX 10.1.1.6.9630 , doi : 10.1090/conm/302/05080 , ISBN 9780821829844 , МР : 1928390
Болдуин, Джон Т. (7 июля 2006 г.), Абстрактные начальные классы: некоторые ответы, дополнительные вопросы (PDF)
Шела, Сахарон (2009), Теория классификации элементарных абстрактных классов , Исследования по логике (Лондон), том. 18, Публикации колледжа, Лондон, ISBN 978-1-904987-71-0
Шела, Сахарон (2009), Теория классификации абстрактных элементарных классов. Том. 2 , Исследования по логике (Лондон), том. 20, Публикации колледжа, Лондон, ISBN 978-1-904987-72-7
Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность , Серия университетских лекций, том. 50, Американское математическое общество, ISBN. 978-0821848937
Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv : 1303.0550v4 [ math.LO ].

[1] Шела 1987 .

[2] Гроссберг 2002 , Раздел 1.

[3] Гроссберг 2002 , Теорема 3.4.

[4] Гроссберг 2002 , Следствие 3.5. Обратите внимание, что там опечатка и что $2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}$ следует заменить на $2^{\operatorname {LS} (K)}$ .

[5] Гроссберг 2002 , Теорема 4.3.

[6] Гроссберг 2002 , Теорема 5.1.

[7] Шела 1999 .

[8] Это заслуга Уилла Бони, но объединяет результаты многих людей, включая Гроссберга, Маккая, Шела и ВанДиерена. Доказательство приведено в Boney 2014 , теорема 7.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]