Прирученный абстрактный элементарный класс

В теории моделей , дисциплине в области математической логики , ручной абстрактный элементарный класс — это абстрактный элементарный класс (AEC), который удовлетворяет свойству локальности для типов, называемых ручным. Хотя это неявно появляется в более ранних работах Шела , прирученность как свойство AEC была впервые выделена Гроссбергом и ВанДиереном. который заметил, что с ручными AEC гораздо легче справиться, чем с обычными AEC.

Определение

Пусть K — АЭК с совместным вложением, объединением и отсутствием максимальных моделей. Как и в теории моделей первого порядка, это означает, что K имеет универсальную модель-монстр, однородную по модели. ${\mathfrak {C}}$. Работа внутри ${\mathfrak {C}}$мы можем определить семантическое понятие типов , указав, что два элемента a и b имеют один и тот же тип в некоторой базовой модели. $M$ если существует автоморфизм модели монстра, отправляющий a в b исправление $M$ поточечно (обратите внимание, что типы могут быть определены аналогичным образом без использования модели монстра ). Такие типы называются типами Галуа .

Можно попросить, чтобы такие типы определялись по их ограничению небольшим доменом. Это порождает понятие приручения:

• АЭК $K$ является ручным, если существует кардинал $\kappa$ такие, что любые два различных типа Галуа уже различны в подмодели своей области размера $\leq \kappa$. Когда мы хотим подчеркнуть $\kappa$, мы говорим $K$ является $\kappa$-ручной.

Обычно предполагается, что ручные AEC удовлетворяют объединению.

Обсуждение и мотивация

Хотя (без существования больших кардиналов ) существуют примеры неручных AEC, большинство известных природных экземпляров являются ручными. Кроме того, известны следующие достаточные условия ручности класса:

• Прирученность – это большая кардинальная аксиома : Существует множество почти сильно компактных кардиналов тогда и только тогда, когда любой абстрактный элементарный класс является ручным.
• Из категоричности вытекает некоторая прирученность : Если AEC со слиянием является категориальным по кардинальному принципу $\lambda$ достаточно высокой конфинальности, то приручаемость сохраняется для типов над насыщенными моделями размером меньше $\lambda$.
• Гипотеза 1,5 дюйма : Если K категоричен в некотором λ ≥ Hanf(K), то существует χ < Hanf(K) такой, что K χ-управляем.

Многие результаты в модельной теории (общих) AEC предполагают слабые формы гипотезы обобщенного континуума и опираются на сложные комбинаторные теоретико-множественные аргументы. С другой стороны, модельную теорию ручных АЭК разрабатывать гораздо проще, о чем свидетельствуют результаты, представленные ниже.

Результаты

Ниже приведены некоторые важные результаты, касающиеся ручных AEC.

• Переход по категоричности вверх : А $\kappa$-укрощение AEC с категоричным объединением в каком-то преемнике $\lambda \geq \operatorname {LS} (K)^{++}+\kappa ^{+}$ (т.е. имеет ровно одну модель размера $\lambda$ с точностью до изоморфизма) категоричен во всех $\mu \geq \lambda$.
• Передача устойчивости вверх : А $\kappa$-укрощение АЭК с устойчивым по кардинальному принципу слиянием $\lambda \geq \kappa$ стабилен в $\lambda ^{+}$ и в каждом бесконечном $\mu$ такой, что $\mu ^{\lambda }=\mu$.
• Прирученность можно рассматривать как принцип топологического разделения : AEC со слиянием является ручным тогда и только тогда, когда соответствующая топология на множестве типов Галуа является Хаусдорфовой .
• Прирученность и категоричность подразумевают наличие разветвляющегося понятия : А $\kappa$-укрощение AEC с категоричным по кардинальному слиянию $\lambda$ конфинальности больше или равна $\kappa$ имеет хороший каркас: понятие разветвления для типов одиночных элементов (в частности, оно стабильно для всех кардиналов). Это порождает правильное представление о размерности .

Ссылки

• Шела, Сахарон (1999), «Категоричность абстрактных классов с объединением» (PDF) , Annals of Pure and Applied Logic , 98 (1): 261–294, arXiv : math/9809197 , doi : 10.1016/s0168-0072(98) )00016-5 , S2CID   27872122
• Гроссберг, Рами (2002), «Теория классификации абстрактных элементарных классов» (PDF) , Логика и алгебра , Современная математика, том. 302, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–204, doi : 10.1090/conm/302/05080 , MR   1928390.
• Гроссберг, Рами ; ВанДирен, Моника (2006a), «Стабильность Галуа для ручных абстрактных элементарных классов» (PDF) , Journal of Mathematical Logic , 6 (1): 25–49, arXiv : math/0509535 , doi : 10.1142/s0219061306000487 , S2CID   15621767
• Гроссберг, Рами ; ВанДирен, Моника (2006b), «Категоричность одного кардинала-преемника в ручных абстрактных элементарных классах», Journal of Mathematical Logic , 6 (2): 181–201, arXiv : math/0510004 , doi : 10.1142/s0219061306000554 , S2CID   16930649
• Болдуин, Джон Т.; Кукер, Дэвид; ВанДирен, Моника (2006), «Перенос устойчивости вверх для ручных абстрактных элементарных классов» (PDF) , Notre Dame Journal of Formal Logic , 47 (2): 291–298, doi : 10.1305/ndjfl/1153858652 , S2CID   5770095
• Болдуин, Джон Т.; Шела, Сахарон (2008), «Примеры нелокальности» (PDF) , Журнал символической логики , 73 (3): 765–782, doi : 10.2178/jsl/1230396746 , S2CID   7276664
• Шела, Сахарон (2009), Теория классификации элементарных абстрактных классов , Исследования по логике (Лондон), том. 18, Публикации колледжа, Лондон, ISBN  978-1-904987-71-0
• Болдуин, Джон Т. (2009), Категоричность , Серия университетских лекций, том. 50, Американское математическое общество, ISBN.  978-0821848937
• Либерман, Майкл Дж. (2011), «Топология типов Галуа в абстрактных элементарных классах», Mathematical Logic Quarterly , 57 (2): 204–216, doi : 10.1002/malq.200910132
• Бони, Уилл (2014). «Приручение от больших кардинальных аксиом». arXiv : 1303.0550v4 [ math.LO ].
• Бони, Уилл; Унгер Спенсер (2015), «Большие кардинальные аксиомы из прирученности в AEC» arXiv:1509.01191v2.
• Васи, Себастьян (2014). «Разветвление и сверхстабильность в ручных AEC». arXiv : 1405.7443v2 [ math.LO ].
• Бони, Уилл; Васи, Себастьян (2014). «Возвращение к прирученности и рамкам». arXiv : 1406.5980v4 [ math.LO ].