Производный набор (математика)

В математике, точнее в топологии множества точек , производное множество подмножества. $S$ топологического пространства — это совокупность всех предельных точек $S.$ Обычно его обозначают $S'.$

Эта концепция была впервые введена Георгом Кантором в 1872 году, и он разработал теорию множеств в значительной степени для изучения производных множеств на действительной прямой .

Определение

Производное множество подмножества $S$ пространства топологического $X,$ обозначается $S',$ это совокупность всех точек $x\in X$ это предельные точки $S,$ то есть баллы $x$ каждая окрестность такие, что $x$ содержит точку $S$ кроме $x$ сам.

Примеры

Если $\mathbb {R}$ наделен своей обычной евклидовой топологией , то производное множество полуинтервала $[0,1)$ это закрытый интервал $[0,1].$

Учитывать $\mathbb {R}$ с топологией (открытыми множествами), состоящей из пустого множества и любого подмножества $\mathbb {R}$ который содержит 1. Производный набор $A:=\{1\}$ является $A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.$ ^[1]

Характеристики

Если $A$ и $B$ являются подмножествами топологического пространства $(X,{\mathcal {F}}),$ то производный набор имеет следующие свойства: ^[2]

$\varnothing '=\varnothing$
$a\in A'$ подразумевает $a\in (A\setminus \{a\})'$
$(A\cup B)'=A'\cup B'$
$A\subseteq B$ подразумевает $A'\subseteq B'$

Подмножество $S$ топологического пространства замкнуто именно тогда, когда $S'\subseteq S,$ ^[1] то есть, когда $S$ содержит все свои предельные точки. Для любого подмножества $S,$ набор $S\cup S'$ закрыто и закрытием является $S$ (то есть набор ${\overline {S}}$ ). ^[3]

Производное множество подмножества пространства $X$ вообще не надо закрывать. Например, если $X=\{a,b\}$ с тривиальной топологией множество $S=\{a\}$ получил набор $S'=\{b\},$ который не замкнут в $X.$ Но производное множество замкнутого множества всегда замкнуто. ^{[доказательство 1]} Кроме того, если $X$ является T ₁ пространством , производным множеством каждого подмножества $X$ закрыт в $X.$ ^[4]^[5]

Два подмножества $S$ и $T$ разделяются именно тогда , когда они не пересекаются и каждый не пересекается с производным набором другого ${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$ ^[6]

Биекция во между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда производное множество образа ( втором пространстве) любого подмножества первого пространства является образом производного множества этого подмножества. ^[7]

Пространство является T ₁ пространством , если каждое подмножество, состоящее из одной точки, замкнуто. ^[8] В пространстве T ₁ производное множество множества, состоящего из одного элемента, пусто (пример 2 выше не является пространством T ₁ ). Отсюда следует, что в пространствах T ₁ производное множество любого конечного множества пусто и, кроме того, $(S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',$ для любого подмножества $S$ и любая точка $p$ пространства. Другими словами, производное множество не изменяется путем добавления или удаления из данного множества конечного числа точек. ^[9] Также можно показать, что в _{T 1} пространстве $\left(S'\right)'\subseteq S'$ для любого подмножества $S.$ ^[10]

Набор $S$ с $S\subseteq S'$ (то есть, $S$ не содержит изолированных точек ) называется плотным в себе . Набор $S$ с $S=S'$ называется совершенным множеством . ^[11] Эквивалентно, совершенное множество — это замкнутое плотное в себе множество или, другими словами, замкнутое множество без изолированных точек. Совершенные множества особенно важны в приложениях теоремы Бэра о категориях .

Теорема Кантора -Бендиксона утверждает, что любое польское пространство можно записать как объединение счетного множества и совершенного множества. Поскольку любое подмножество G _δ польского пространства снова является польским пространством, теорема также показывает, что любое подмножество G _δ польского пространства представляет собой объединение счетного множества и множества, совершенного относительно индуцированной топологии .

Топология в терминах производных множеств

Поскольку гомеоморфизмы могут быть полностью описаны в терминах производных множеств, производные множества использовались в качестве примитивного понятия в топологии . Набор очков $X$ может быть оснащен оператором $S\mapsto S^{*}$ отображение подмножеств $X$ к подмножествам $X,$ такой, что для любого набора $S$ и любая точка $a$ :

$\varnothing ^{*}=\varnothing$
$S^{**}\subseteq S^{*}\cup S$
$a\in S^{*}$ подразумевает $a\in (S\setminus \{a\})^{*}$
$(S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}$
$S\subseteq T$ подразумевает $S^{*}\subseteq T^{*}.$

Вызов набора $S$ закрыто , если $S^{*}\subseteq S$ определит топологию в пространстве, в котором $S\mapsto S^{*}$ является оператором производного множества, то есть $S^{*}=S'.$

Ранг Кантора – Бендиксона

Для порядковых чисел $\alpha ,$ тот $\alpha$ -я Кантора – Бендиксона производная топологического пространства определяется путем многократного применения операции над производным множеством с использованием трансфинитной рекурсии следующим образом:

$\displaystyle X^{0}=X$
$\displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'$
$\displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }$ для предельных ординалов $\lambda .$

Трансфинитная последовательность производных Кантора–Бендиксона $X$ уменьшается и в конечном итоге должен стать постоянным. Самый маленький порядковый номер $\alpha$ такой, что $X^{\alpha +1}=X^{\alpha }$ называется Кантора – Бендиксона ранга $X.$

Это исследование процесса вывода было одной из причин введения числительных порядковых Георгом Кантором .

См. также

Точка присоединения - точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
Точка конденсации – более сильный аналог предельной точки.
Изолированная точка - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
Предельная точка — точка кластера в топологическом пространстве.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Бейкер 1991 , с. 41
^ Первин 1964 , стр.38
^ Бейкер 1991 , с. 42
^ Энгелькинг 1989 , с. 47
^ «Общая топология. Доказательство замкнутости производного множества $E'$» .
^ Первин 1964 , с. 51
^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 4 , ISBN 0-486-65676-4
^ Первин 1964 , с. 70
^ Куратовский 1966 , стр.77.
^ Куратовский 1966 , стр.76.
^ Первин 1964 , с. 62

Доказательства

^ Доказательство: предположение $S$ является закрытым подмножеством $X,$ что показывает, что $S'\subseteq S,$ возьмите производный набор с обеих сторон, чтобы получить $S''\subseteq S';$ то есть, $S'$ закрыт в $X.$

Ссылки

Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .
Куратовский, К. (1966), Топология , вып. 1, Академическое издательство, ISBN 0-12-429201-1
Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press

Дальнейшее чтение

Кекрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Тексты для аспирантов по математике, 156 изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-94374-9 .
Серпинский, Вацлав Ф. ; перевод Кригера, К. Сесилии (1952). Общая топология . Университет Торонто Пресс.

Внешние ссылки

Статья PlanetMath о производной Кантора – Бендиксона

[Baker41-1] Jump up to: ^а ^б Бейкер 1991 , с. 41

[2] Первин 1964 , стр.38

[3] Бейкер 1991 , с. 42

[5] Энгелькинг 1989 , с. 47

[6] «Общая топология. Доказательство замкнутости производного множества $E'$» .

[7] Первин 1964 , с. 51

[8] Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 4 , ISBN 0-486-65676-4

[9] Первин 1964 , с. 70

[10] Куратовский 1966 , стр.77.

[11] Куратовский 1966 , стр.76.

[12] Первин 1964 , с. 62

[4] Доказательство: предположение $S$ является закрытым подмножеством $X,$ что показывает, что $S'\subseteq S,$ возьмите производный набор с обеих сторон, чтобы получить $S''\subseteq S';$ то есть, $S'$ закрыт в $X.$

[1]

[2]

[3]

[доказательство 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]