Полная теория модели
В теории моделей теория первого порядка называется модельно полной , если каждое вложение ее моделей является элементарным вложением . Эквивалентно, каждая формула первого порядка эквивалентна универсальной формуле.Это понятие было введено Абрахамом Робинсоном .
Модель-компаньон и завершение модели [ править ]
Спутницей может быть вложена в теории Т является такая теория Т *, что каждая модель Т модель Т * и наоборот.
Модель -компаньон теории T — это модель T , которая является модельно полной. Робинсон доказал, что теория имеет не более одной модели-компаньона. Не каждая теория совместима с моделями, например теория групп. Однако если T является - категориальная теория , то у нее всегда есть модель-компаньон. [1] [2]
Пополнением модели теории T является модель-компаньон * такая, что для любой модели M теории T теория T * вместе с диаграммой M T является полной . Грубо говоря, это означает, что каждая модель T вкладывается в модель T уникальным образом *.
Если T * является моделью-компаньоном T , то следующие условия эквивалентны: [3]
- T * — модельное завершение T
- T обладает свойством амальгамации .
Если T также имеет универсальную аксиоматизацию, оба вышеизложенных также эквивалентны:
- T * имеет исключение кванторов
Примеры [ править ]
- Любая теория с исключением кванторов является модельно полной.
- Теория алгебраически замкнутых полей является модельным завершением теории полей. Модель завершена, но не завершена.
- Модельным завершением теории отношений эквивалентности является теория отношений эквивалентности с бесконечным числом классов эквивалентности, каждый из которых содержит бесконечное число элементов.
- Теория действительных замкнутых полей , на языке упорядоченных колец , является модельным завершением теории упорядоченных полей (или даже упорядоченных областей ).
- Теория действительных замкнутых полей на языке колец является моделью, дополняющей теорию формально вещественных полей , но не является завершением модели.
Непримеры [ править ]
- Теория плотных линейных порядков с первым и последним элементом является полной, но не модельной.
- Теория групп (на языке с символами тождества, произведения и обратных чисел) обладает свойством амальгамации, но не имеет сопутствующей модели.
полноты модельно- полных Достаточное условие теорий
Если T — модельная полная теория и существует модель T , которая встраивается в любую модель T , то T является полной. [4]
Примечания [ править ]
- ^ Сарацино 1973 .
- ^ Симмонс 1976 .
- ^ Чанг и Кейслер 2012 .
- ^ Маркер 2002 .
Ссылки [ править ]
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-444-88054-3 .
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (2012) [1990]. Теория моделей . Дуврские книги по математике (3-е изд.). Дуврские публикации . п. 672. ИСБН 978-0-486-48821-9 .
- Хиршфельд, Йорам; Уилер, Уильям Х. (1975). «Модели-дополнения и модели-компаньоны». Форсирование, Арифметика, Разделительные кольца . Конспект лекций по математике. Том. 454. Спрингер. стр. 44–54. дои : 10.1007/BFb0064085 . ISBN 978-3-540-07157-0 . МР 0389581 .
- Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для аспирантов по математике 217. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6 .
- Сарачино, Д. (август 1973 г.). «Модели-компаньоны для ℵ 0 -категорических теорий». Труды Американского математического общества . 39 (3): 591–598.
- Симмонс, Х. (1976). «Большие и малые экзистенциально замкнутые структуры». Журнал символической логики . 41 (2): 379–390.