Идеальный коэффициент

Не путать с фактором кольца по идеалу.

В абстрактной алгебре , если I и J — идеалы коммутативного кольца R , их идеальное частное ( I : J ) — это множество

$(I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}$

Тогда ( I : J само является идеалом в R. ) Идеальное частное рассматривается как частное, потому что $KJ\subseteq I$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq (I:J)$. Идеальное частное полезно для расчета первичных разложений . Он также возникает при описании разности множеств в алгебраической геометрии (см. ниже).

( I : J ) иногда называют идеалом двоеточия из-за обозначения. В контексте дробных идеалов существует родственное понятие обратного дробному идеалу.

Свойства

Идеальный фактор удовлетворяет следующим свойствам:

• $(I:J)=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)$ как $R$- модули , где $\mathrm {Ann} _{R}(M)$ обозначает уничтожителя ​ $M$ как $R$-модуль.
• $J\subseteq I\Leftrightarrow (I:J)=R$ (в частности, $(I:I)=(R:I)=(I:0)=R$)
• $(I:R)=I$
• $(I:(JK))=((I:J):K)$
• $(I:(J+K))=(I:J)\cap (I:K)$
• $((I\cap J):K)=(I:K)\cap (J:K)$
• $(I:(r))={\frac {1}{r}}(I\cap (r))$ (пока R является областью целостности )

Вычисление частного

Вышеупомянутые свойства можно использовать для вычисления фактора идеалов в кольце полиномов по их образующим. Например, если I = ( f ₁ , f ₂ , f ₃ ) и J = ( g ₁ , g ₂ ) являются идеалами в k [ x ₁ , ..., x _n ], то

$I:J=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)$

Тогда теорию исключения можно использовать для вычисления пересечения I ) с ( g ₁ и ( g ₂ ):

$I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{2})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]$

Вычислите базис Грёбнера для $tI+(1-t)(g_{1})$ относительно лексикографического порядка. Тогда базисные функции, в которых нет t, порождают $I\cap (g_{1})$.

интерпретация

Идеальный фактор соответствует разности множеств в алгебраической геометрии . Точнее,

• Если W — аффинное многообразие (не обязательно неприводимое), а V — подмножество аффинного пространства (не обязательно многообразие), то

$I(V):I(W)=I(V\setminus W)$

где $I(\bullet )$ обозначает взятие идеала, связанного с подмножеством.

• Если I и J — идеалы в k [ x1 _, ,..., xn _— ], где k алгебраически замкнутое поле , а I радикал то

$Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))$

где $\mathrm {cl} (\bullet )$ обозначает Зарисского замыкание и $Z(\bullet )$ означает взятие многообразия, определяемого идеалом. Если I не радикален, то то же самое свойство сохраняется, если мы насыщаем идеал J :

$Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))$

где $(I:J^{\infty })=\cup _{n\geq 1}(I:J^{n})$.

Примеры

• В $\mathbb {Z}$, $((6):(2))=(3)$
• В алгебраической теории чисел идеальное частное полезно при изучении дробных идеалов . Это потому, что обратный любому обратимому дробному идеалу $I$ целостной области $R$ задается идеальным коэффициентом $((1):I)=I^{-1}$.
• Одним из геометрических применений идеального фактора является удаление неприводимого компонента аффинной схемы. Например, пусть $I=(xyz),J=(xy)$ в $\mathbb {C} [x,y,z]$ — идеалы, соответствующие объединению плоскостей x, y и z, а также плоскостей x и y в $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}$. Тогда идеальное частное $(I:J)=(z)$ является идеалом плоскости z в $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}$. Это показывает, как идеальное частное можно использовать для «удаления» неприводимых подсхем.
• Полезным примером теории схем является взятие идеального фактора приводимого идеала. Например, идеальное частное $((x^{4}y^{3}):(x^{2}y^{2}))=(x^{2}y)$, показывая, что идеальный фактор подсхемы некоторой нередуцированной схемы, где обе имеют одну и ту же приведенную подсхему, уничтожает часть нередуцированной структуры.
• Мы можем использовать предыдущий пример, чтобы найти насыщенность идеала, соответствующего проективной схеме. Учитывая однородный идеал $I\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ насыщенность ​ ​ $I$ определяется как идеальное частное $(I:{\mathfrak {m}}^{\infty })=\cup _{i\geq 1}(I:{\mathfrak {m}}^{i})$ где ${\mathfrak {m}}=(x_{0},\ldots ,x_{n})\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$. Это теорема о том, что множество насыщенных идеалов $R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ содержится в ${\mathfrak {m}}$ находится в биекции с множеством проективных подсхем в $\mathbb {P} _{R}^{n}$. Это показывает нам, что $(x^{4}+y^{4}+z^{4}){\mathfrak {m}}^{k}$ определяет ту же проективную кривую , что и $(x^{4}+y^{4}+z^{4})$ в $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$.

Ссылки

• Вивиана Эне, Юрген Херцог: «Базисы Грёбнера в коммутативной алгебре», Аспирантура AMS по математике , том 130 (AMS 2012)

• МФАтия, И.Г.Макдональд: «Введение в коммутативную алгебру», Аддисон-Уэсли, 1969.