Функция Лиувилля

В математике функции Лиувилля представляют собой набор функций, включающий элементарные функции и их повторяющиеся интегралы . Функции Лиувилля можно рекурсивно определить как интегралы от других функций Лиувилля.

Более подробно, функция Лиувилля — это функция одной переменной , которая представляет собой композицию конечного числа арифметических операций (+, −, ×, ÷) , экспонент , констант , решений алгебраических уравнений (обобщение n корней -й степени ), и первообразные . Функцию логарифма от нет необходимости указывать явно, поскольку она является интегралом $1/x$.

Непосредственно из определения следует, что множество функций Лиувилля замкнуто относительно арифметических операций, композиции и интегрирования. Оно также замкнуто относительно дифференцирования . Оно не замкнуто относительно пределов и бесконечных сумм .

Функции Лиувилля были введены Жозефом Лиувиллем в серии статей с 1833 по 1841 год.

Примеры

Все элементарные функции являются лиувиллевыми.

Примерами хорошо известных функций, которые являются лиувиллевыми, но не элементарными, являются неэлементарные первообразные , например:

• Функция ошибки , $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$
• Экспоненциальный ( ( Ei , логарифмический ) Li или li ) и интегралы Френеля ( S и C ).

Все функции Лиувилля являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений , но не наоборот. Примеры функций, которые являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений, но не лиувиллевскими, включают:

• ( функции Бесселя кроме особых случаев);
• гипергеометрические функции (кроме особых случаев).

Примеры функций, которые не являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений и, следовательно, не являются лиувиллевыми, включают все трансцендентно-трансцендентные функции , такие как:

• гамма -функция ;
• функция дзета- .

См. также

• Выражение в закрытой форме - математическая формула, включающая заданный набор операций.
• Дифференциальная теория Галуа - Исследование групп симметрии Галуа дифференциальных полей
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра) - говорит, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены как элементарные функции.
• Неэлементарный интеграл - интегралы, не выражаемые в замкнутой форме из элементарных функций.
• Теория Пикара – Вессио - Исследование расширений дифференциальных полей, индуцированных линейными дифференциальными уравнениями.

Дальнейшее чтение

• Давенпорт, Дж. Х. (2007). «Что может означать «понимать функцию»». В Кауэрсе, М.; Кербер, М.; Майнер, Р.; Виндштайгер, В. (ред.). На пути к механизированным математическим помощникам . Берлин/Гейдельберг: Springer. стр. 55–65 . ISBN  978-3-540-73083-5 .