Алгебраическое дифференциальное уравнение

Не путать с Дифференциально-алгебраической системой уравнений .

В математике алгебраическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение , которое можно выразить с помощью дифференциальной алгебры . Согласно используемой концепции дифференциальной алгебры, таких понятий несколько.

Цель состоит в том, чтобы включить уравнения, сформированные с помощью дифференциальных операторов , в которых коэффициенты являются рациональными функциями переменных (например, гипергеометрическое уравнение ). Алгебраические дифференциальные уравнения широко используются в компьютерной алгебре и теории чисел .

Простая концепция - это концепция полиномиального векторного поля , другими словами, векторного поля, выраженного относительно стандартного координатного базиса как первые частные производные с полиномиальными коэффициентами. Это тип алгебраического дифференциального оператора первого порядка.

Составы

• Выводы D могут использоваться как алгебраические аналоги формальной части дифференциального исчисления , так что алгебраические дифференциальные уравнения имеют смысл в коммутативных кольцах .
• Теория дифференциальных полей была создана для выражения дифференциальной теории Галуа в алгебраических терминах.
• Можно рассмотреть алгебру Вейля W дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами; определенные модули М согласно представлению М. можно использовать для выражения дифференциальных уравнений ,
• Концепция связности Кошуля легко транскрибируется в алгебраическую геометрию , давая алгебраический аналог того, как системы дифференциальных уравнений геометрически представляются векторными расслоениями со связностями.
• Понятие струи было сделано в рамках проекта Гротендика EGA можно описать чисто алгебраическими терминами, как это .
• Теория D-модулей представляет собой глобальную теорию линейных дифференциальных уравнений и была разработана для включения существенных результатов алгебраической теории (включая соответствие Римана-Гильберта для более высоких размерностей).

Алгебраические решения

Обычно это не тот случай, когда общее решение алгебраического дифференциального уравнения является алгебраической функцией : решение уравнений обычно приводит к появлению новых трансцендентных функций . Однако случай алгебраических решений представляет значительный интерес; классический список Шварца относится к случаю гипергеометрического уравнения. В дифференциальной теории Галуа случаем алгебраических решений является случай, когда дифференциальная группа Галуа G конечна (что эквивалентно размерности 0 или конечной группе монодромии для случая римановых поверхностей и линейных уравнений). Этот случай относится ко всей теории примерно так же, как теория инвариантов относится к теории представлений групп . Группу G вообще трудно вычислить, понимание алгебраических решений является указанием верхних границ для G .

Внешние ссылки

• Михалев А.В.; Панкратьев, Е.В. (2001) [1994], «Дифференциальная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Михалев А.В.; Панкратьев, Е.В. (2001) [1994], "Расширение дифференциального поля" , Энциклопедия Математики , EMS Press