Ratio of the perimeter of Bernoulli's lemniscate to its diameter
Лемниската или Бернулли
В математике лемнискаты константа ϖ [1] [3] [4] [5] — трансцендентная математическая константа, представляющая собой отношение периметра лемнискаты Бернулли к ее диаметру , аналогично определению π для круга. Аналогично, периметр лемнискаты
(
x
2
+
y
2
)
2
=
x
2
−
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}
составляет 2 ϖ . Константа лемниската тесно связана с эллиптическими функциями лемниската и примерно равна 2,62205755. [6] [7] [8] [9] Символ ϖ является рукописным вариантом буквы π ; см. Пи § Вариант пи .
Константа Гаусса , обозначаемая G , равна ϖ / π ≈ 0,8346268 . [10]
Джон Тодд назвал еще две лемнискатные константы: первую лемнискатную константу A = ϖ /2 ≈ 1,3110287771 и вторую лемнискатную константу B = π /(2 ϖ ) ≈ 0,5990701173 . [11] [12] [13] [14]
Иногда величины 2 ϖ или A называют константой лемнискаты. [15] [16]
постоянная Гаусса
G
{\displaystyle G}
назван в честь Карла Фридриха Гаусса , который вычислил его через среднее арифметико-геометрическое как
1
M
(
1
,
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{M\left(1,{\sqrt {2}}\right)}}}
. [6] К 1799 году у Гаусса было два доказательства теоремы о том, что
M
(
1
,
2
)
=
π
ϖ
{\displaystyle M\left(1,{\sqrt {2}}\right)={\tfrac {\pi }{\varpi }}}
где
ϖ
{\displaystyle \varpi }
– константа лемнискаты. [а]
Лемнискатная константа
ϖ
{\displaystyle \varpi }
и первая константа лемнискаты
A
{\displaystyle A}
были доказаны трансцендентными Теодором Шнайдером в 1937 году, а вторая константа лемнискаты
B
{\displaystyle B}
и постоянная Гаусса
G
{\displaystyle G}
трансцендентность была доказана Теодором Шнайдером в 1941 году. [11] [17] [б] В 1975 году Григорий Чудновский доказал, что множество
{
π
,
ϖ
}
{\displaystyle \{\pi ,\varpi \}}
независима алгебраически над
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
, что означает, что
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
также алгебраически независимы. [18] [19] Но набор
{
π
,
M
(
1
,
1
2
)
,
M
′
(
1
,
1
2
)
}
{\displaystyle \left\{\pi ,M\left(1,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),M'\left(1,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\right\}}
(где штрих обозначает производную по второй переменной) не является алгебраически независимым над
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
. Фактически, [20]
π
=
2
2
M
3
(
1
,
1
2
)
M
′
(
1
,
1
2
)
=
1
G
3
M
′
(
1
,
1
2
)
.
{\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}{M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}={\frac {1}{G^{3}M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}.}
Обычно,
ϖ
{\displaystyle \varpi }
определяется первым равенством ниже. [21] [22]
ϖ
=
2
∫
0
1
d
t
1
−
t
4
=
2
∫
0
∞
d
t
1
+
t
4
=
∫
0
1
d
t
t
−
t
3
=
∫
1
∞
d
t
t
3
−
t
=
4
∫
0
∞
(
1
+
t
4
4
−
t
)
d
t
=
2
2
∫
0
1
1
−
t
4
4
d
t
=
3
∫
0
1
1
−
t
4
d
t
=
2
K
(
i
)
=
1
2
B
(
1
4
,
1
2
)
=
Γ
(
1
4
)
2
2
2
π
=
2
−
2
4
ζ
(
3
4
)
2
ζ
(
1
4
)
2
=
2.62205
75542
92119
81046
48395
89891
11941
…
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t-t^{3}}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{3}-t}}}\\[6mu]&=4\int _{0}^{\infty }\left({\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t\right)\,\mathrm {d} t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {\mathrm {d} t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,\mathrm {d} t\\[2mu]&=2K(i)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}{\zeta \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}\\[5mu]&=2.62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}
где К — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к , В — бета-функция , Г — гамма-функция и z — дзета-функция Римана .
Константу лемнискаты также можно вычислить как среднее арифметико-геометрическое.
M
{\displaystyle M}
,
ϖ
=
π
M
(
1
,
2
)
.
{\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{M\left(1,{\sqrt {2}}\right)}}.}
Более того,
e
β
′
(
0
)
=
ϖ
π
{\displaystyle e^{\beta '(0)}={\frac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}}
что аналогично
e
ζ
′
(
0
)
=
1
2
π
{\displaystyle e^{\zeta '(0)}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
где
β
{\displaystyle \beta }
– бета-функция Дирихле и
ζ
{\displaystyle \zeta }
— дзета-функция Римана . [23]
Константа Гаусса обычно определяется как обратная величина среднего арифметико -геометрического числа 1 и квадратного корня из 2 после его вычисления
M
(
1
,
2
)
{\displaystyle M\left(1,{\sqrt {2}}\right)}
опубликовано в 1800 году:
G
=
1
M
(
1
,
2
)
{\displaystyle G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}}
Постоянная Гаусса равна
G
=
1
2
π
B
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}
где В обозначает бета-функцию . Формула для G в терминах тэта-функций Якоби имеет вид
G
=
ϑ
01
2
(
e
−
π
)
{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)}
Константа Гаусса может быть вычислена из гамма-функции в аргументе 1 / 4 :
G
=
Γ
(
1
4
)
2
2
2
π
3
{\displaystyle G={\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){}^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}
Константы лемнискаты Джона Тодда можно выразить через бета-функцию B:
A
=
1
2
π
G
=
1
2
ϖ
=
1
4
B
(
1
4
,
1
2
)
,
B
=
1
2
G
=
1
4
B
(
1
2
,
3
4
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}\pi G={\tfrac {1}{2}}\varpi ={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right),\\[3mu]B&={\frac {1}{2G}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).\end{aligned}}}
Формулу Вьета для π можно записать:
2
π
=
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }
Аналогичная формула для ϖ : [25]
2
ϖ
=
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}}}\cdots }
Произведение Уоллиса для π :
π
2
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
(
−
1
)
n
+
1
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
2
n
−
1
⋅
2
n
2
n
+
1
)
=
(
2
1
⋅
2
3
)
(
4
3
⋅
4
5
)
(
6
5
⋅
6
7
)
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdots }
Аналогичная формула для ϖ : [26]
ϖ
2
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
2
n
)
(
−
1
)
n
+
1
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
−
1
4
n
−
2
⋅
4
n
4
n
+
1
)
=
(
3
2
⋅
4
5
)
(
7
6
⋅
8
9
)
(
11
10
⋅
12
13
)
⋯
{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)=\left({\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\left({\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\left({\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}\right)\cdots }
Связанный результат для константы Гаусса (
G
=
ϖ
π
{\displaystyle G={\tfrac {\varpi }{\pi }}}
) является: [27]
G
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
−
1
4
n
⋅
4
n
+
2
4
n
+
1
)
=
(
3
4
⋅
6
5
)
(
7
8
⋅
10
9
)
(
11
12
⋅
14
13
)
⋯
{\displaystyle G=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)=\left({\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}\right)\left({\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}\right)\left({\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}\right)\cdots }
Бесконечная серия констант Гаусса, открытая Гауссом: [28]
G
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
2
(
2
k
)
2
=
1
−
1
2
2
2
+
1
2
⋅
3
2
2
2
⋅
4
2
−
1
2
⋅
3
2
⋅
5
2
2
2
⋅
4
2
⋅
6
2
+
⋯
{\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots }
Формула Мачина для π :
1
4
π
=
4
arctan
1
5
−
arctan
1
239
,
{\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}
и несколько подобных формул для π можно получить, используя тождества суммы тригонометрических углов, например формулу Эйлера
1
4
π
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
{\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}
. Аналогичные формулы могут быть разработаны для ϖ , включая следующие, найденные Гауссом:
1
2
ϖ
=
2
arcsl
1
2
+
arcsl
7
23
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}}
, где
arcsl
{\displaystyle \operatorname {arcsl} }
— лемниската арксинус . [29]
Константу лемнискаты можно быстро вычислить по ряду [30] [31]
ϖ
=
1
2
π
(
∑
n
∈
Z
e
−
π
n
2
)
2
=
2
4
π
e
−
π
12
(
∑
n
∈
Z
(
−
1
)
n
e
−
π
p
n
)
2
{\displaystyle \varpi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\right)^{2}={\sqrt[{4}]{2}}\pi e^{-{\frac {\pi }{12}}}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi p_{n}}\right)^{2}}
где
p
n
=
3
n
2
−
n
2
{\displaystyle p_{n}={\tfrac {3n^{2}-n}{2}}}
(это обобщенные пятиугольные числа ).
В духе, аналогичном Базельской проблеме ,
∑
z
∈
Z
[
i
]
∖
{
0
}
1
z
4
=
G
4
(
i
)
=
ϖ
4
15
{\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}(i)={\frac {\varpi ^{4}}{15}}}
где
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
являются гауссовскими целыми числами и
G
4
{\displaystyle G_{4}}
представляет собой ряд Эйзенштейна веса 4 ( см . в разделе «Эллиптические функции Лемнискаты § Числа Гурвица »). более общий результат [32]
Соответствующий результат
∑
n
=
1
∞
σ
3
(
n
)
e
−
2
π
n
=
ϖ
4
80
π
4
−
1
240
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)e^{-2\pi n}={\frac {\varpi ^{4}}{80\pi ^{4}}}-{\frac {1}{240}}}
где
σ
3
{\displaystyle \sigma _{3}}
представляет собой функцию суммы положительных делителей . [33]
В 1842 году Мальмстен нашел
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
log
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
=
π
4
(
γ
+
2
log
π
ϖ
2
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\log(2n+1)}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\right)}
где
γ
{\displaystyle \gamma }
— постоянная Эйлера .
Константа Гаусса определяется быстро сходящимся рядом
G
=
32
4
e
−
π
3
(
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
−
2
n
π
(
3
n
+
1
)
)
2
.
{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}
Константа также определяется бесконечным произведением
G
=
∏
m
=
1
∞
tanh
2
(
π
m
2
)
.
{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}
Цепные дроби [ править ]
(Обобщенная) цепная дробь для π равна
π
2
=
1
+
1
1
+
1
⋅
2
1
+
2
⋅
3
1
+
3
⋅
4
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}
Аналогичная формула для
ϖ :
[12]
ϖ
2
=
1
+
1
2
+
2
⋅
3
2
+
4
⋅
5
2
+
6
⋅
7
2
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2\cdot 3}{2+{\cfrac {4\cdot 5}{2+{\cfrac {6\cdot 7}{2+\ddots }}}}}}}}}
Определите с непрерывную дробь Брункера помощью [34]
b
(
s
)
=
s
+
1
2
2
s
+
3
2
2
s
+
5
2
2
s
+
⋱
,
s
>
0.
{\displaystyle b(s)=s+{\cfrac {1^{2}}{2s+{\cfrac {3^{2}}{2s+{\cfrac {5^{2}}{2s+\ddots }}}}}},\quad s>0.}
Позволять
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
кроме первого равенства, где
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
. Затем
[35] [36]
b
(
4
n
)
=
(
4
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
4
k
−
1
)
2
(
4
k
−
3
)
(
4
k
+
1
)
π
ϖ
2
b
(
4
n
+
1
)
=
(
2
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
2
k
)
2
(
2
k
−
1
)
(
2
k
+
1
)
4
π
b
(
4
n
+
2
)
=
(
4
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
4
k
−
3
)
(
4
k
+
1
)
(
4
k
−
1
)
2
ϖ
2
π
b
(
4
n
+
3
)
=
(
2
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
)
2
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b(4n)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-1)^{2}}{(4k-3)(4k+1)}}{\frac {\pi }{\varpi ^{2}}}\\b(4n+1)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}{\frac {4}{\pi }}\\b(4n+2)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-3)(4k+1)}{(4k-1)^{2}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}\\b(4n+3)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)(2k+1)}{(2k)^{2}}}\,\pi .\end{aligned}}}
Например,
b
(
1
)
=
4
π
b
(
2
)
=
ϖ
2
π
b
(
3
)
=
π
b
(
4
)
=
9
π
ϖ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b(1)&={\frac {4}{\pi }}\\b(2)&={\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}\\b(3)&=\pi \\b(4)&={\frac {9\pi }{\varpi ^{2}}}.\end{aligned}}}
ϖ
=
[
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
4
,
1
,
2
,
…
]
2
ϖ
=
[
5
,
4
,
10
,
2
,
1
,
2
,
3
,
29
,
…
]
ϖ
2
=
[
1
,
3
,
4
,
1
,
1
,
1
,
5
,
2
,
…
]
G
=
[
0
,
1
,
5
,
21
,
3
,
4
,
14
,
…
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=[2,1,1,1,1,1,4,1,2,\ldots ]\\2\varpi &=[5,4,10,2,1,2,3,29,\ldots ]\\{\frac {\varpi }{2}}&=[1,3,4,1,1,1,5,2,\ldots ]\\G&=[0,1,5,21,3,4,14,\ldots ]\end{aligned}}}
Геометрическое представление
ϖ
/
2
{\displaystyle \varpi /2}
и
ϖ
/
2
{\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}
ϖ относится к площади под кривой
x
4
+
y
4
=
1
{\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}
. Определение
π
n
:=
B
(
1
n
,
1
n
)
{\displaystyle \pi _{n}\mathrel {:=} \mathrm {B} \left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)}
, вдвое больше площади в положительном квадранте под кривой
x
n
+
y
n
=
1
{\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}
является
2
∫
0
1
1
−
x
n
n
d
x
=
1
n
π
n
.
{\displaystyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\mathop {\mathrm {d} x} ={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}
В квартическом случае
1
4
π
4
=
1
2
ϖ
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi .}
В 1842 году Мальмстен обнаружил, что [39]
∫
0
1
log
(
−
log
x
)
1
+
x
2
d
x
=
π
2
log
π
ϖ
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(-\log x)}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}.}
Более того,
∫
0
∞
tanh
x
x
e
−
x
d
x
=
log
ϖ
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\tanh x}{x}}e^{-x}\,dx=\log {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}}
и [40]
∫
0
∞
e
−
x
4
d
x
=
2
ϖ
2
π
4
,
analogous to
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\,dx={\frac {\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}{4}},\quad {\text{analogous to}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},}
разновидность
интеграла Гаусса .
Константа Гаусса появляется при вычислении интегралов
1
G
=
∫
0
π
2
sin
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}
G
=
∫
0
∞
d
x
cosh
(
π
x
)
{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}
Первая и вторая константы лемнискаты определяются интегралами: [11]
A
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle A=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
B
=
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle B=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
Длина окружности эллипса [ править ]
Постоянная Гаусса удовлетворяет уравнению
1
G
=
2
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {1}{G}}=2\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
Эйлер обнаружил в 1738 году, что для прямоугольной эластики (первая и вторая константы лемнискаты) [42]
arc
length
⋅
height
=
A
⋅
B
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
⋅
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
=
ϖ
2
⋅
π
2
ϖ
=
π
4
{\displaystyle {\textrm {arc}}\ {\textrm {length}}\cdot {\textrm {height}}=A\cdot B=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\mathop {\mathrm {d} x} }{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}}
Теперь учитывая окружность
C
{\displaystyle C}
эллипса с осями
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
и
1
{\displaystyle 1}
, удовлетворяя
2
x
2
+
4
y
2
=
1
{\displaystyle 2x^{2}+4y^{2}=1}
Стирлинг отметил, что
C
2
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
+
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {C}{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
Следовательно, полная окружность равна
C
=
1
G
+
G
π
≈
3.820197789
…
{\displaystyle C={\frac {1}{G}}+G\pi \approx 3.820197789\ldots }
Это также длина дуги синусоиды на половине периода: [44]
C
=
∫
0
π
1
+
cos
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle C=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}
Другие ограничения [ править ]
Аналогично
2
π
=
lim
n
→
∞
|
(
2
n
)
!
B
2
n
|
1
2
n
{\displaystyle 2\pi =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(2n)!}{\mathrm {B} _{2n}}}\right|^{\frac {1}{2n}}}
где
B
n
{\displaystyle \mathrm {B} _{n}}
являются
числами Бернулли , мы имеем
2
ϖ
=
lim
n
→
∞
(
(
4
n
)
!
H
4
n
)
1
4
n
{\displaystyle 2\varpi =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(4n)!}{\mathrm {H} _{4n}}}\right)^{\frac {1}{4n}}}
где
H
n
{\displaystyle \mathrm {H} _{n}}
являются
числами Гурвица .
Примечания [ править ]
^ хотя ни одно из этих доказательств не было строгим с современной точки зрения.
^ В частности, он доказал, что бета-функция
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}
является трансцендентным для всех
a
,
b
∈
Q
∖
Z
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }
такой, что
a
+
b
∉
Z
0
−
{\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
. Дело в том, что
ϖ
{\displaystyle \varpi }
трансцендентна, следует из
ϖ
=
1
2
B
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)}
и аналогично для B и G из
B
(
1
2
,
3
4
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}
^ Гаусс, CF (1866). Сочинения (Том III) (на латыни и немецком языке). Издано Королевским обществом наук в Геттингене. п. 404
^ Эймар, Питер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8 . п. 199
^ Боттаццини, Умберто ; Грей, Джереми (2013). Скрытая гармония – геометрические фантазии: возникновение теории комплексных функций . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4614-5725-1 . ISBN 978-1-4614-5724-4 . п. 57
^ Аракава, Цунео; Ибукияма, Томойоши; функции . Числа Бернулли и дзета - 978-4-431-54918-5 . п. 203
^ Перейти обратно: а б Финч, Стивен Р. (18 августа 2003 г.). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 420. ИСБН 978-0-521-81805-6 .
^ Кобаяши, Хироюки; Такеучи, Шинго (2019), «Применение обобщенных тригонометрических функций с двумя параметрами», Communications on Pure & Applied Analysis , 18 (3): 1509–1521, arXiv : 1903.07407 , doi : 10.3934/cpaa.2019072 , S2CID 102487670
^ Асаи, Тецуя (2007), Эллиптические суммы Гаусса и L-значения Хекке при s=1 , arXiv : 0707,3711
^ "А062539 - Оайс" .
^ "A014549 - Оайс" .
^ Перейти обратно: а б с Тодд, Джон (январь 1975 г.). «Лемнискатные константы» . Коммуникации АКМ . 18 (1): 14–19. дои : 10.1145/360569.360580 . S2CID 85873 .
^ Перейти обратно: а б "A085565 - Оайс" .
^ «А076390 - Оайс» .
^ Карлсон, Британская Колумбия (2010), «Эллиптические интегралы» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
^ "A064853 - Оайс" .
^ «Лемниската Константа» .
^ Шнайдер, Теодор (1941). «К теории абелевых функций и интегралов» . Журнал чистой и прикладной математики . 183 (19): 110–128. дои : 10.1515/crll.1941.183.110 . S2CID 118624331 .
^ Г. В. Чудновский: Алгебраическая независимость констант, связанных с функциями анализа , Извещения AMS 22, 1975, с. А-486
^ Г. В. Чудновский: Вклад в теорию трансцендентных чисел , Американское математическое общество, 1984, с. 6
^ Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-83138-7 . п. 45
^ Финч, Стивен Р. (18 августа 2003 г.). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. стр. 420–422. ISBN 978-0-521-81805-6 .
^ Шаппахер, Норберт (1997). «Некоторые вехи лемнискатомии» (PDF) . В Сертёзе, С. (ред.). Алгебраическая геометрия (Материалы летней школы Билкент, 7–19 августа 1995 г., Анкара, Турция). Марсель Деккер. стр. 257–290.
^ «А113847 — Оайс» .
^ Левин (2006)
^ Хайд (2014) доказывает справедливость более общей формулы Уоллиса для кривых клевера; здесь для ясности частный случай лемнискаты немного трансформируется.
^ Хайд, Тревор (2014). «Продукт Уоллиса на клевере» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 121 (3): 237–243. doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 . S2CID 34819500 .
^ Боттаццини, Умберто ; Грей, Джереми (2013). Скрытая гармония – геометрические фантазии: возникновение теории комплексных функций . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4614-5725-1 . ISBN 978-1-4614-5724-4 . п. 60
^ Тодд (1975)
^ Кокс 1984 , с. 307, экв. 2.21 для первого равенства. Второе равенство можно доказать, используя теорему о пятиугольных числах .
^ Берндт, Брюс К. (1998). Записные книжки Рамануджана . Часть V. Спрингер. ISBN 978-1-4612-7221-2 . п. 326
^ Эймар, Питер; Лафон, Жан-Пьер (2004). Число Пи Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3246-8 . п. 232
^ Гарретт, Пол. «Эллиптические модульные формы первого уровня» (PDF) . Университет Миннесоты . п. 11—13
^ Хрущев, Сергей (2008). Ортогональные многочлены и цепные дроби (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85419-1 . п. 140 (ур. 3.34), с. 153. Ошибка на стр. 153:
4
[
Γ
(
3
+
s
/
4
)
/
Γ
(
1
+
s
/
4
)
]
2
{\displaystyle 4[\Gamma (3+s/4)/\Gamma (1+s/4)]^{2}}
должно быть
4
[
Γ
(
(
3
+
s
)
/
4
)
/
Γ
(
(
1
+
s
)
/
4
)
]
2
{\displaystyle 4[\Gamma ((3+s)/4)/\Gamma ((1+s)/4)]^{2}}
.
^ Хрущев, Сергей (2008). Ортогональные многочлены и цепные дроби (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-85419-1 . п. 146, 155
^ Перрон, Оскар (1957). Учение о цепных дробях: Том II (на немецком языке) (Третье изд.). Б. Г. Тойбнер. п. 36, экв. 24
^ «А062540-ОЭИС» . oeis.org . Проверено 14 сентября 2022 г.
^ «А053002-ОЭИС» . oeis.org .
^ Благоушин, Ярослав В. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты» . Журнал Рамануджана . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5 . S2CID 120943474 .
^ "A068467 - Оэйс" .
^ Левиен (2008)
^ Адлай, Семен (2012). «Красноречивая формула периметра эллипса» (PDF) . Американское математическое общество . п. 1097. Можно также заметить, что длина «синусоидальной» кривой за половину периода, т. е. длина графика функции sin(t) от точки, где t = 0, до точки, где t = π, является
2
l
(
1
/
2
)
=
L
+
M
{\displaystyle {\sqrt {2}}l(1/{\sqrt {2}})=L+M}
. В этой статье
M
=
1
/
G
=
π
/
ϖ
{\displaystyle M=1/G=\pi /\varpi }
и
L
=
π
/
M
=
G
π
=
ϖ
{\displaystyle L=\pi /M=G\pi =\varpi }
.
Внешние ссылки [ править ]