Формула Вьета

В математике представляющее формула Вьета представляет собой следующее бесконечное произведение вложенных радикалов, удвоенную величину, обратную математической константе $π$ : ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ Его также можно представить как ${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.$

Формула названа в честь Франсуа Вьета , опубликовавшего ее в 1593 году. ^{[ 1 ]} В качестве первой формулы европейской математики, описывающей бесконечный процесс, ^{[ 2 ]} ему можно придать строгий смысл как предельному выражению ^{[ 3 ]} и знаменует начало математического анализа . Он имеет линейную сходимость и может использоваться для расчета $π$ , ^{[ 4 ]} но другие методы до и после привели к большей точности. Он также использовался при расчетах поведения систем пружин и масс. ^{[ 5 ]} и как мотивирующий пример концепции статистической независимости .

Формула может быть получена как телескопическое произведение площадей или периметров вложенных многоугольников, сходящихся к кругу . Альтернативно, повторное использование формулы половинного угла из тригонометрии приводит к обобщенной формуле, открытой Леонардом Эйлером , в которой формула Вьета является частным случаем. Сейчас известно множество подобных формул, включающих вложенные корни или бесконечные произведения.

Значение

Франсуа Виет (1540–1603) был французским юристом, тайным советником двух французских королей и математиком-любителем. Он опубликовал эту формулу в 1593 году в своей работе Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII . В это время методы аппроксимации $π$ уже давно были известны с (в принципе) произвольной точностью. Собственный метод Вьета можно интерпретировать как вариацию идеи Архимеда о приближении длины окружности периметром многогранника. ^{[ 1 ]} использовал Архимед для нахождения приближения ^{[ 6 ]} ${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.$

Опубликовав свой метод в виде математической формулы, Виет сформулировал первый случай бесконечного произведения, известный в математике: ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} и первый пример явной формулы для точного значения $π$ . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} Будучи первым в европейской математике представлением числа как результата бесконечного процесса, а не конечного вычисления, ^{[ 11 ]} Эли Маор подчеркивает, что формула Вьета положила начало математическому анализу. ^{[ 2 ]} а Джонатан Борвейн называет его появление «рассветом современной математики». ^{[ 12 ]}

Используя свою формулу, Виет вычислил число $π$ с точностью до девяти десятичных цифр . ^{[ 4 ]} Однако это было не самое точное приближение к числу $π,$ известное в то время, поскольку персидский математик Джамшид аль-Каши вычислил $число π$ с точностью до девяти шестидесятеричных цифр и 16 десятичных цифр в 1424 году. ^{[ 12 ]} Вскоре после того, как Виет опубликовал свою формулу, Людольф ван Сеулен использовал метод, тесно связанный с методом Вьета, для вычисления 35 цифр числа $π$ , которые были опубликованы только после смерти ван Сеулена в 1610 году. ^{[ 12 ]}

Помимо своего математического и исторического значения, формула Вьета может быть использована для объяснения различных скоростей волн разной частоты в бесконечной цепочке пружин и масс, а также появления $π$ в предельном поведении этих скоростей. ^{[ 5 ]} Кроме того, вывод этой формулы как произведения интегралов , включающих систему Радемахера , равный интегралу произведений тех же функций, представляет собой мотивирующий пример концепции статистической независимости . ^{[ 13 ]}

Интерпретация и конвергенция

Формулу Вьета можно переписать и понять как предельное выражение. ^{[ 3 ]} $\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }},$ где ${\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}$

Для каждого выбора $n$ , выражение в пределе является конечным произведением, и поскольку $n$ становится сколь угодно большим, эти конечные произведения имеют значения, которые сколь угодно близко приближаются к значению формулы Вьета. концепции пределов и строгие доказательства сходимости Виет проделал свою работу задолго до того, как в математике были разработаны ; первое доказательство существования этого предела не было дано до работы Фердинанда Рудио в 1891 году. ^{[ 1 ]}^{[ 14 ]}

Скорость сходимости предела определяет количество членов выражения, необходимых для достижения заданного количества цифр точности. В формуле Вьета количество членов и цифр пропорциональны друг другу: произведение первых $n$ членов предела дает выражение для $π$ с точностью примерно до $0,6 n$ цифр. ^{[ 4 ]}^{[ 15 ]} Эта скорость сходимости очень выгодно отличается от произведения Уоллиса , более поздней формулы бесконечного произведения для $π$ . Хотя сам Вьет использовал свою формулу для расчета числа $π$ только с точностью до девяти цифр, ускоренная версия его формулы использовалась для расчета $числа π$ до сотен тысяч цифр. ^{[ 4 ]}

Связанные формулы

Формулу Вьета можно получить как частный случай формулы для функции sinc , которую часто приписывали Леонарду Эйлеру. ^{[ 16 ]}, более века спустя: ^{[ 1 ]} ${\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots$

Подстановка $x = π /2$ в эту формулу дает ^{[ 17 ]} ${\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots$

Затем выразим каждый член произведения справа как функцию предыдущих членов, используя формулу половинного угла : $\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$ дает формулу Вьета. ^{[ 9 ]}

Также возможно вывести из формулы Вьета родственную формулу для $π$ , которая по-прежнему включает вложенные квадратные корни из двух, но использует только одно умножение: ^{[ 18 ]} $\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ square roots}}},$ которое можно компактно переписать как ${\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}$

Сейчас известны многие формулы для $π$ и других констант, таких как золотое сечение , подобно формуле Вьета, в которой используются либо вложенные радикалы, либо бесконечные произведения тригонометрических функций. ^{[ 8 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

Вывод

Вьет получил свою формулу, сравнивая площади правильных многоугольников с $2 н$ и $2 п + 1$ стороны, вписанные в окружность . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Первый член произведения, ${\sqrt {2}}/2$ , — отношение площадей квадрата и восьмиугольника , второй член — это отношение площадей восьмиугольника и шестиугольника и т. д. Таким образом, произведение телескопируется и дает отношение площадей квадрата (исходный многоугольник в последовательность) до окружности (предельный случай $2 н$ -гон). Альтернативно, члены произведения могут быть интерпретированы как отношения периметров одной и той же последовательности многоугольников, начиная с отношения периметров двуугольника ( диаметр круга, посчитанный дважды) и квадрата, отношения периметров многоугольника. квадрат и восьмиугольник и т. д. ^{[ 25 ]}

Возможен другой вывод на основе тригонометрических тождеств и формулы Эйлера. Многократное применение формулы двойного угла $\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},$ приводит к доказательству методом математической индукции , что для всех натуральных чисел $n$ , $\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).$

Срок $2 н грех(х /2 н)$ переходит к $x$ в пределе, когда $n$ стремится к бесконечности, из чего следует формула Эйлера. Формулу Вьета можно получить из этой формулы заменой $x = π /2$ . ^{[ 9 ]}^{[ 13 ]}

См. также

Закон Морри , то же самое тождество $x=2^{n}\alpha$ по формуле Вьета

Список тригонометрических тождеств

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бекманн, Питер (1971). История $π$ (2-е изд.). Боулдер, Колорадо: The Golem Press. стр. 100-1 94–95 . ISBN 978-0-88029-418-8 . МР 0449960 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Маор, Эли (2011). Тригонометрические наслаждения . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 50, 140. ISBN. 978-1-4008-4282-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). «2.1 Бесконечное произведение Вьета» . Число Пи . Перевод Уилсона, Стивена С. Провиденса, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2 . МР 2036595 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кремински, Рик (2008). « $П$ до тысяч цифр из формулы Виеты». Журнал «Математика» . 81 (3): 201–207. дои : 10.1080/0025570X.2008.11953549 . JSTOR 27643107 . S2CID 125362227 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Каллерн, JP; Гёкджян, MC Данн (декабрь 2011 г.). «Обучение распространению волн и появление формулы Вьета». Физическое образование . 47 (1): 87–91. дои : 10.1088/0031-9120/47/1/87 . S2CID 122368450 .
^ Бекманн 1971 , с. 67.
^ Де Смит, Майкл Дж. (2006). Математика для мистифицированных: исследование истории математики и ее связи с современной наукой и вычислительной техникой . Лестер: Матадор. п. 165. ИСБН 978-1905237-81-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Морено, Сэмюэл Г.; Гарсиа-Кабальеро, Эстер М. (2013). «О формулах типа Вьета» . Журнал теории приближения . 174 : 90–112. дои : 10.1016/j.jat.2013.06.006 . МР 3090772 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Моррисон, Кент Э. (1995). «Косинусные произведения, преобразования Фурье и случайные суммы». Американский математический ежемесячник . 102 (8): 716–724. arXiv : math/0411380 . дои : 10.2307/2974641 . JSTOR 2974641 . МР 1357488 .
^ Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спаниер, Джером (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Атласа . Нью-Йорк: Спрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48807-3 .
^ Очень похожий бесконечный тригонометрический ряд для $\pi$ появились раньше в индийской математике , в работах Мадхавы Сангамаграмы (ок. 1340–1425), но были известны в Европе гораздо позже. Видеть: Плофкер, Ким (2009). «7.3.1 Мадхава по окружности и дугам круга» . Математика в Индии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 221–234. ISBN 978-0-691-12067-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Борвейн, Джонатан М. (2014). «Жизнь Пи: от Архимеда до ЭНИАКа и далее» (PDF) . В Сидоли, Натан; Ван Браммелен, Глен (ред.). Из Александрии через Багдад . Берлин и Гейдельберг: Springer. стр. 531–561. дои : 10.1007/978-3-642-36736-6_24 . ISBN 978-3-642-36735-9 . Проверено 20 августа 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кац, Марк (1959). «Глава 1: От Виеты к понятию статистической независимости». Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел . Карус Математические монографии . Том. 12. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья от Математической ассоциации Америки. стр. 1–12. МР 0110114 .
^ Рудио, Ф. (1891). «О сближении специального расширения продукта благодаря Vieta» . Историко-литературный отдел журнала «Математика и физика» (на немецком языке). 36 : 139-140. ЖФМ 23.0263.02 .
^ Ослер, Томас Дж. (2007). «Простой геометрический метод оценки ошибки при использовании произведения Виеты для $π$ ». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 38 (1): 136–142. дои : 10.1080/00207390601002799 . S2CID 120145020 .
^ Эйлер, Леонард (1738). «О различных способах выражения квадратуры круга с граничащими числами». Комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни). 9 : 222–236. Переведено на английский Томасом В. Поласки. Смотрите окончательную формулу. Эта же формула есть и в Эйлер, Леонард (1783). «Различные наблюдения об углах, исходящих в геометрической прогрессии» [Различные наблюдения об углах, исходящих в геометрической прогрессии]. Аналитические брошюры (на латыни). 1 : 345–352. Переведено на английский Джордан Белл, arXiv : 1009.1439 . См. формулу в пронумерованном пункте 3.
^ Уилсон, Робин Дж. (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики (1-е изд.). Оксфорд, Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. стр. 57–58. ISBN 9780198794929 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Серви, Л.Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.2307/3647881 . JSTOR 3647881 . МР 1984573 .
^ Ниблом, Массачусетс (2012). «Некоторые оценки бесконечных продуктов в замкнутой форме с участием вложенных радикалов» . Математический журнал Роки Маунтин . 42 (2): 751–758. дои : 10.1216/RMJ-2012-42-2-751 . МР 2915517 .
^ Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения константы лемнискаты». Американский математический ежемесячник . 113 (6): 510–520. дои : 10.2307/27641976 . JSTOR 27641976 . МР 2231136 .
^ Левин, Аарон (2005). «Новый класс бесконечных произведений, обобщающий формулу произведения Вьета для $числа π$ ». Журнал Рамануджана . 10 (3): 305–324. дои : 10.1007/s11139-005-4852-z . МР 2193382 . S2CID 123023282 .
^ Ослер, Томас Дж. (2007). «Вьета-подобные произведения вложенных радикалов с числами Фибоначчи и Люка». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 45 (3): 202–204. МР 2437033 .
^ Столарский, Кеннет Б. (1980). «Отображение свойств, роста и уникальности продуктов Vieta (бесконечный косинус)» . Тихоокеанский математический журнал . 89 (1): 209–227. дои : 10.2140/pjm.1980.89.209 . МР 0596932 .
^ Аллен, Эдвард Дж. (1985). «Продолжительные радикалы». Математический вестник . 69 (450): 261–263. дои : 10.2307/3617569 . JSTOR 3617569 . S2CID 250441699 .
^ Руммлер, Хансклаус (1993). «Квадратура круга с дырками». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. дои : 10.2307/2324662 . JSTOR 2324662 . МР 1247533 .

Внешние ссылки

Различные математические ответы Вьета , книга VIII (1593 г.) в Google Books . Формула находится во второй половине стр. 30

[beckmann-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бекманн, Питер (1971). История $π$ (2-е изд.). Боулдер, Колорадо: The Golem Press. стр. 100-1 94–95 . ISBN 978-0-88029-418-8 . МР 0449960 .

[maor-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Маор, Эли (2011). Тригонометрические наслаждения . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 50, 140. ISBN. 978-1-4008-4282-7 .

[eymlaf-3] Перейти обратно: ^а ^б Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). «2.1 Бесконечное произведение Вьета» . Число Пи . Перевод Уилсона, Стивена С. Провиденса, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2 . МР 2036595 .

[kreminski-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кремински, Рик (2008). « $П$ до тысяч цифр из формулы Виеты». Журнал «Математика» . 81 (3): 201–207. дои : 10.1080/0025570X.2008.11953549 . JSTOR 27643107 . S2CID 125362227 .

[cullerne-5] Перейти обратно: ^а ^б Каллерн, JP; Гёкджян, MC Данн (декабрь 2011 г.). «Обучение распространению волн и появление формулы Вьета». Физическое образование . 47 (1): 87–91. дои : 10.1088/0031-9120/47/1/87 . S2CID 122368450 .

[FOOTNOTEBeckmann197167-6] Бекманн 1971 , с. 67.

[desmith-7] Де Смит, Майкл Дж. (2006). Математика для мистифицированных: исследование истории математики и ее связи с современной наукой и вычислительной техникой . Лестер: Матадор. п. 165. ИСБН 978-1905237-81-4 .

[mgc-8] Перейти обратно: ^а ^б Морено, Сэмюэл Г.; Гарсиа-Кабальеро, Эстер М. (2013). «О формулах типа Вьета» . Журнал теории приближения . 174 : 90–112. дои : 10.1016/j.jat.2013.06.006 . МР 3090772 .

[morrison-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с Моррисон, Кент Э. (1995). «Косинусные произведения, преобразования Фурье и случайные суммы». Американский математический ежемесячник . 102 (8): 716–724. arXiv : math/0411380 . дои : 10.2307/2974641 . JSTOR 2974641 . МР 1357488 .

[oms-10] Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спаниер, Джером (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Атласа . Нью-Йорк: Спрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48807-3 .

[plofker-11] Очень похожий бесконечный тригонометрический ряд для $\pi$ появились раньше в индийской математике , в работах Мадхавы Сангамаграмы (ок. 1340–1425), но были известны в Европе гораздо позже. Видеть: Плофкер, Ким (2009). «7.3.1 Мадхава по окружности и дугам круга» . Математика в Индии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 221–234. ISBN 978-0-691-12067-6 .

[borwein-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с Борвейн, Джонатан М. (2014). «Жизнь Пи: от Архимеда до ЭНИАКа и далее» (PDF) . В Сидоли, Натан; Ван Браммелен, Глен (ред.). Из Александрии через Багдад . Берлин и Гейдельберг: Springer. стр. 531–561. дои : 10.1007/978-3-642-36736-6_24 . ISBN 978-3-642-36735-9 . Проверено 20 августа 2024 г.

[kac-13] Перейти обратно: ^а ^б Кац, Марк (1959). «Глава 1: От Виеты к понятию статистической независимости». Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел . Карус Математические монографии . Том. 12. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья от Математической ассоциации Америки. стр. 1–12. МР 0110114 .

[rudio-14] Рудио, Ф. (1891). «О сближении специального расширения продукта благодаря Vieta» . Историко-литературный отдел журнала «Математика и физика» (на немецком языке). 36 : 139-140. ЖФМ 23.0263.02 .

[osler-15] Ослер, Томас Дж. (2007). «Простой геометрический метод оценки ошибки при использовании произведения Виеты для $π$ ». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 38 (1): 136–142. дои : 10.1080/00207390601002799 . S2CID 120145020 .

[euler-16] Эйлер, Леонард (1738). «О различных способах выражения квадратуры круга с граничащими числами». Комментарии Петрополитанской академии наук (на латыни). 9 : 222–236. Переведено на английский Томасом В. Поласки. Смотрите окончательную формулу. Эта же формула есть и в Эйлер, Леонард (1783). «Различные наблюдения об углах, исходящих в геометрической прогрессии» [Различные наблюдения об углах, исходящих в геометрической прогрессии]. Аналитические брошюры (на латыни). 1 : 345–352. Переведено на английский Джордан Белл, arXiv : 1009.1439 . См. формулу в пронумерованном пункте 3.

[17] Уилсон, Робин Дж. (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики (1-е изд.). Оксфорд, Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. стр. 57–58. ISBN 9780198794929 .

[servi-18] Перейти обратно: ^а ^б Серви, Л.Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.2307/3647881 . JSTOR 3647881 . МР 1984573 .

[nyblom-19] Ниблом, Массачусетс (2012). «Некоторые оценки бесконечных продуктов в замкнутой форме с участием вложенных радикалов» . Математический журнал Роки Маунтин . 42 (2): 751–758. дои : 10.1216/RMJ-2012-42-2-751 . МР 2915517 .

[levin-20] Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения константы лемнискаты». Американский математический ежемесячник . 113 (6): 510–520. дои : 10.2307/27641976 . JSTOR 27641976 . МР 2231136 .

[levin2-21] Левин, Аарон (2005). «Новый класс бесконечных произведений, обобщающий формулу произведения Вьета для $числа π$ ». Журнал Рамануджана . 10 (3): 305–324. дои : 10.1007/s11139-005-4852-z . МР 2193382 . S2CID 123023282 .

[osler2-22] Ослер, Томас Дж. (2007). «Вьета-подобные произведения вложенных радикалов с числами Фибоначчи и Люка». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 45 (3): 202–204. МР 2437033 .

[stolarsky-23] Столарский, Кеннет Б. (1980). «Отображение свойств, роста и уникальности продуктов Vieta (бесконечный косинус)» . Тихоокеанский математический журнал . 89 (1): 209–227. дои : 10.2140/pjm.1980.89.209 . МР 0596932 .

[allen-24] Аллен, Эдвард Дж. (1985). «Продолжительные радикалы». Математический вестник . 69 (450): 261–263. дои : 10.2307/3617569 . JSTOR 3617569 . S2CID 250441699 .

[rummler-25] Руммлер, Хансклаус (1993). «Квадратура круга с дырками». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. дои : 10.2307/2324662 . JSTOR 2324662 . МР 1247533 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]