Закон Морри

Закон Морри представляет собой особое тригонометрическое тождество . Его название связано с физиком Ричардом Фейнманом , который имел обыкновение ссылаться на личность под этим именем. Фейнман выбрал это имя, потому что он узнал его в детстве от мальчика по имени Морри Джейкобс и впоследствии запомнил его на всю свою жизнь.

Идентичность и обобщение

$\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.$

Это частный случай более общего тождества

$2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

с n = 3 и α = 20° и тем, что

${\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,$

с

$\sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).$

Похожие личности

Аналогичное тождество справедливо и для функции синуса:

$\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

При этом, разделив второе тождество на первое, очевидно следующее тождество:

$\tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).$

Доказательство

Геометрическое доказательство закона Морри.

Обычный девятиугольник $ABCDEFGHI$ с $O$ являющийся центром описанной окружности . Вычисление углов:
${\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}$

Рассмотрим правильный девятиугольник $ABCDEFGHI$ с длиной стороны $1$ и пусть $M$ быть серединой $AB$, $L$ середина $BF$ и $J$ середина $BD$. Внутренние углы девятиугольника равны $140^{\circ }$ и более того $\gamma =\angle FBM=80^{\circ }$, $\beta =\angle DBF=40^{\circ }$ и $\alpha =\angle CBD=20^{\circ }$ (см. рисунок). Применение определения косинуса в прямоугольных треугольниках $\triangle BFM$, $\triangle BDL$ и $\triangle BCJ$ затем дает доказательство закона Морри:

${\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}$

Алгебраическое доказательство обобщенного тождества

Напомним формулу двойного угла для функции синуса.

$\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).$

Решите для $\cos(\alpha )$

$\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.$

Отсюда следует, что:

${\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{aligned}}$

Умножение всех этих выражений вместе дает:

$\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.$

Промежуточные числители и знаменатели сокращаются, остается только первый знаменатель, степень 2 и последний числитель. имеется n Обратите внимание, что в обеих частях выражения членов. Таким образом,

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},$

что эквивалентно обобщению закона Морри.

См. также

• Формула Вьета , то же самое тождество $\alpha =2^{-n}x$ по закону Морри
• Список тригонометрических тождеств

Дальнейшее чтение

• Глен Ван Бруммелен: Тригонометрия: очень краткое введение . Издательство Оксфордского университета, 2020, ISBN   9780192545466 , стр. 79–83.
• Эрнест К. Андерсон: закон Морри и экспериментальная математика . В: Журнал развлекательной математики , 1998.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон Морри» . Математический мир .