Точные тригонометрические значения

В математике значения тригонометрических функций можно выразить приближенно, как в $\cos(\pi /4)\approx 0.707$, или точно, как в $\cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2$. Хотя тригонометрические таблицы содержат множество приблизительных значений, точные значения для определенных углов можно выразить с помощью комбинации арифметических операций и квадратных корней . Углы с тригонометрическими значениями, выражаемые таким образом, — это именно те углы, которые можно построить с помощью циркуля и линейки , и эти значения называются конструктивными числами .

Общие ракурсы

Тригонометрические функции углов, кратных 15°, 18° или 22,5°, имеют простые алгебраические значения. Эти значения указаны в следующей таблице для углов от 0° до 90°. В таблице ниже метка «Не определено» представляет собой соотношение $1:0.$ Если кодовая область тригонометрических функций принимается в качестве действительных чисел, эти записи не определены , тогда как если кодовая область принимается в качестве проективно расширенных действительных чисел , эти записи принимают значение $\infty$ (см. деление на ноль ).

радианы	Степени	грех	потому что	загар	детская кроватка	сек	csc
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	Неопределенный	$1$	Неопределенный
${\frac {\pi }{12}}$	$15^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$
${\frac {\pi }{10}}$	$18^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}+1$
${\frac {\pi }{8}}$	$22.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{\circ }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2$
${\frac {\pi }{5}}$	$36^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$	$1$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$
${\frac {3\pi }{10}}$	$54^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
${\frac {3\pi }{8}}$	$67.5^{\circ }$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$
${\frac {2\pi }{5}}$	$72^{\circ }$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}+1$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$
${\frac {5\pi }{12}}$	$75^{\circ }$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	Неопределенный	$0$	Неопределенный	$1$

Для углов за пределами этого диапазона тригонометрические значения можно найти, применяя тождества отражения и сдвига, такие как

${\begin{alignedat}{3}&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}$

Тригонометрические числа

Тригонометрическое число — это число, которое можно выразить как или косинус рационального кратного π синус радиан . С $\sin(x)=\cos(x-\pi /2),$случай синуса можно исключить из этого определения. Поэтому любое тригонометрическое число можно записать как $\cos(2\pi k/n)$, где k и n — целые числа. Это число можно рассматривать как действительную часть комплексного числа. $\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)$. Формула Де Муавра показывает, что числа такого вида являются корнями из единицы :

$\left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1$

Поскольку корень из единицы является корнем многочлена x ^н − 1, оно алгебраическое . Поскольку тригонометрическое число является средним из корня из единицы и его комплексно-сопряженного числа , а алгебраические числа замкнуты относительно арифметических операций, каждое тригонометрическое число является алгебраическим. Минимальные полиномы тригонометрических чисел можно перечислить явно . Напротив, по теореме Линдеманна-Вейерштрасса синус или косинус любого ненулевого алгебраического числа всегда трансцендентен.

Действительная часть любого корня из единицы является тригонометрическим числом. По теореме Нивена единственными рациональными тригонометрическими числами являются 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.

Конструктивность

Угол можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда его синус (или, что то же самое, косинус) можно выразить комбинацией арифметических операций и квадратных корней, примененных к целым числам. Кроме того, угол, который является рациональным кратным $\pi$ радиан является конструктивным тогда и только тогда, когда оно выражается как $a\pi /b$ радиан, где a и b — относительно простые целые числа, простая факторизация знаменателя b — это произведение некоторой степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (простое число Ферма — это простое число на единицу, большее, чем степень двойки ).

Так, например, $2\pi /15=24^{\circ }$ является конструктивным углом, поскольку 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5. Аналогично $\pi /12=15^{\circ }$— это конструктивный угол, поскольку 12 — это степень удвоенного (4) простого числа Ферма (3). Но $\pi /9=20^{\circ }$ не является конструктивным углом, так как $9=3\cdot 3$ не является произведением различных простых чисел Ферма, поскольку оно содержит множитель 3 дважды, и также не является $\pi /7\approx 25.714^{\circ }$, поскольку 7 не является простым числом Ферма.

Из приведенной выше характеристики следует, что угол целого числа градусов является конструктивным тогда и только тогда, когда это число градусов кратно 3 .

Конструируемые ценности

45°

Из отражения тождества , $\cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })$. Подставляя в тригонометрическое тождество Пифагора $\sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1$, получаем минимальный полином $2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0$. Взяв положительный корень, находим $\sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2$.

30° и 60°

Значения синуса и косинуса 30 и 60 градусов получены путем анализа равностороннего треугольника . В равностороннем треугольнике все три угла равны и в сумме составляют 180°, следовательно, каждый угловой угол равен 60°. Разделив один угол пополам, особый прямоугольный треугольник получается с углами 30-60-90. По симметрии биссектриса равна половине стороны равностороннего треугольника, поэтому можно сделать вывод: $\sin(30^{\circ })=1/2$. Тогда тождества Пифагора и отражения дают $\sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2$.

18°, 36°, 54° и 72°

Значение $\sin(18^{\circ })$ может быть получена с использованием формул множественных углов для синуса и косинуса. По формуле двойного угла для синуса:

$\sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })$

По формуле тройного угла для косинуса:

$\cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))$

Поскольку sin(36°) = cos(54°), приравняем эти два выражения и сократим множитель cos(18°):

$2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })$

Это квадратное уравнение имеет только один положительный корень:

$\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

Тогда тождество Пифагора дает $\cos(18^{\circ })$, а формулы двойного и тройного угла дают синус и косинус 36°, 54° и 72°.

Остальные кратные 3°

Синусы и косинусы всех остальных углов от 0 до 90°, кратных 3°, можно получить из описанных выше углов и формул суммы и разности . Конкретно,

${\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}$

Например, поскольку $24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }$, его косинус можно получить по формуле косинусной разности:

${\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}$

Полууглы

Если знаменатель b умножить на дополнительные коэффициенты 2, синус и косинус можно получить с помощью формул половинного угла . Например, 22,5° ( π /8 рад) составляет половину от 45°, поэтому его синус и косинус равны:

$\sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

$\cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$

Повторное применение формул половинного угла приводит к вложенным радикалам , в частности, к вложенным квадратным корням из 2 вида ${\sqrt {2\pm \cdots }}$. В общем случае синус и косинус большинства углов формы $\beta /2^{n}$ можно выразить с помощью вложенных квадратных корней из 2 через $\beta$. В частности, если можно записать угол как

$$\alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)$$

где $b_{k}\in [-2,2]$ и $b_{i}$ равно -1, 0 или 1 для $i<k$, затем

$$\cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}$$

и если $b_{1}\neq 0$ затем

$$\sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}$$

Например, ${\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)$, так что у человека есть $(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)$ и получает:

$$\cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}$$

$$\sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}$$

Знаменатель 17

Основная статья: Гептадекагон

Поскольку 17 — простое число Ферма, можно построить правильный 17-угольник , а это означает, что синусы и косинусы таких углов, как $2\pi /17$радианы можно выразить через квадратные корни. В частности, в 1796 году Карл Фридрих Гаусс показал, что:

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}$

Синусы и косинусы других конструктивных углов формы ${\frac {k2^{n}\pi }{17}}$ (для целых чисел $k,n$) можно вывести из этого.

Неконструктивность 1°

Как обсуждалось в § Конструктивность , только определенные углы, которые являются рациональными кратными $\pi$радианы имеют тригонометрические значения, которые можно выразить с помощью квадратных корней. Угол 1°, будучи $\pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)$ радиан, имеет повторяющийся коэффициент 3 в знаменателе и, следовательно, $\sin(1^{\circ })$невозможно выразить, используя только квадратные корни. Связанный с этим вопрос заключается в том, можно ли выразить это с помощью кубических корней. Можно использовать следующие два подхода, но оба приводят к выражению, включающему кубический корень комплексного числа .

Используя тождество тройного угла, мы можем определить $\sin(1^{\circ })$ как корень кубического многочлена: $\sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x$. Три корня этого многочлена равны $\sin(1^{\circ })$, $\sin(59^{\circ })$, и $-\sin(61^{\circ })$. С $\sin(3^{\circ })$ является конструктивным, выражение для него можно подставить в формулу Кардано, чтобы получить выражение для $\sin(1^{\circ })$. Однако, поскольку все три корня кубического числа вещественны, это случай casus unducibilis , и выражение потребует извлечения кубического корня из комплексного числа.

Альтернативно, по формуле Муавра :

${\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}$

Взяв кубические корни и сложив или вычитая уравнения, мы имеем:

${\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}$

См. также

• Прямоугольник Эйля , используемый для поиска точных значений для углов, кратных 15 °.
• Список тригонометрических тождеств

Библиография

• Лемер, Д.Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 165–166. дои : 10.2307/2301023 . JSTOR   2301023 .
• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-61272-0 .
• Уоткинс, Уильям; Зейтлин, Джоэл (1993). «Минимальный многочлен cos(2*π/n)». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 471–474. дои : 10.2307/2324301 . JSTOR   2324301 .
• Гистмайр, Курт (1997). «Некоторые линейные отношения между значениями тригонометрических функций при k * π/n» (PDF) . Акта Арифметика . 81 (4): 387–498. дои : 10.4064/aa-81-4-387-398 . МР   1472818 .
• Конвей, Джон Х.; Радин, Чарльз; Садун, Лоренцо (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Дискретная и вычислительная геометрия . 22 (3): 321–332. arXiv : math-ph/9812019 . дои : 10.1007/PL00009463 . МР   1706614 . S2CID   563915 .
• Бракен, Пол; Чижек, Иржи (2002). «вычисление квантовомеханических пертурбативных сумм в терминах квадратичных иррациональных чисел и их использование в приближении ζ(3)/π ³ ". Международный журнал квантовой химии . 90 : 42–53. doi : 10.1002/qua.1803 .
• Серви, Л.Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.2307/3647881 . JSTOR   3647881 .
• Беслин, Скотт; де Анжелис, Валерио (2004). «Минимальные полиномы sin(2*π/p) и cos(2*π/p)». Журнал «Математика» . 77 (2): 146–149. дои : 10.1080/0025570X.2004.11953242 . JSTOR   3219105 . S2CID   118497912 .
• Тангсупхатхават, Пинтира; Лаохакосол, Вишиан (2016). «Минимальные полиномы значений алгебраических косинусов, кратных π» . Журнал целочисленных последовательностей . 19 :16.2.8.