Пифагорейское тригонометрическое тождество

, Тригонометрическое тождество Пифагора также называемое просто тождеством Пифагора , представляет собой тождество, выражающее теорему Пифагора в терминах тригонометрических функций . Наряду с формулами суммы углов это одно из основных соотношений между функциями синуса и косинуса .

Личность

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.

По-прежнему, $\sin ^{2}\theta$ означает ${\textstyle (\sin \theta )^{2}}$ .

Доказательства и их связь с теоремой Пифагора.

Доказательство на основе прямоугольных треугольников.

Любые подобные треугольники обладают тем свойством, что если мы выберем во всех из них один и тот же угол , соотношение двух сторон, определяющих угол, будет одинаковым независимо от того, какой подобный треугольник выбран, независимо от его фактического размера: соотношения зависят от трех углы, а не длины сторон. Таким образом, для любого из подобных прямоугольных треугольников на рисунке отношение его горизонтальной стороны к гипотенузе одинаково, а именно cos θ .

Элементарные определения функций синуса и косинуса через стороны прямоугольного треугольника таковы:

\sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{c}}

\cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{c}}

Тождество Пифагора получается путем возведения в квадрат обоих приведенных выше определений и сложения; тогда левая часть тождества становится

{\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}

который по теореме Пифагора равен 1. Это определение справедливо для всех углов в силу определения определения $x=\cos \theta$ и $y=\sin \theta$ для единичного круга и, следовательно, $x=c\cos \theta$ и $y=c\sin \theta$ для круга радиуса c и отражающего наш треугольник по оси y и устанавливающего $a=x$ и $b=y$ .

тождества, обнаруженные в тригонометрической симметрии, сдвигах и периодичности В качестве альтернативы можно использовать . Используя тождества периодичности, мы можем сказать, что если формула верна для −π < θ ≤ π , то она верна для всех действительных θ . Далее докажем тождество в диапазоне π/2 < θ ≤ π, для этого положим t = θ − π/2, t теперь будет находиться в диапазоне 0 < t ≤ π/2. Затем мы можем использовать возведенные в квадрат версии некоторых основных тождеств сдвига (возведение в квадрат удобно удаляет знаки минус):

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.

Остается только доказать это при −π < θ < 0; это можно сделать, возведя в квадрат тождества симметрии, чтобы получить

\sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ and }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).

Родственные личности

Личности

1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta

и

1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta

называются еще тригонометрическими тождествами Пифагора. ^[1] Если длина одного катета прямоугольного треугольника равна 1, то тангенс угла, прилежащего к этому катету, равен длине другого катета, а секущая угла — длине гипотенузы.

\tan \theta ={\frac {b}{a}},

и:

\sec \theta ={\frac {c}{a}}.

Таким образом, это тригонометрическое тождество с касательной и секущей следует из теоремы Пифагора. Угол, противолежащий катету длины 1 (этот угол можно обозначить φ = π/2 − θ), имеет котангенс, равный длине другого катета, и косеканс, равный длине гипотенузы. Таким образом, это тригонометрическое тождество, включающее котангенс и косеканс, также следует из теоремы Пифагора.

В следующей таблице приведены тождества с фактором или делителем, который связывает их с основным тождеством.

Оригинальная идентичность	Делитель	Уравнение делителя	Производная идентичность	Производное удостоверение (альтернативное)
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\cos ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$	$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1\\(\sec \theta -\tan \theta )(\sec \theta +\tan \theta )=1\\\end{aligned}}$
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\sin ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1\\(\csc \theta -\cot \theta )(\csc \theta +\cot \theta )=1\\\end{aligned}}$

Доказательство с использованием единичного круга

Единичная окружность с центром в начале координат евклидовой плоскости определяется уравнением: ^[2]

x^{2}+y^{2}=1.

Учитывая угол θ , существует уникальная точка P на единичной окружности, расположенная под углом θ против часовой стрелки от оси x , а x и y координаты точки P равны: ^[3]

x=\cos \theta \ {\text{ and }}\ y=\sin \theta .

Следовательно, из уравнения для единичной окружности:

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,

Пифагорейская идентичность.

На рисунке точка P имеет отрицательную координату x и соответственно задается как x = cos θ , что является отрицательным числом: cos θ = −cos(π− θ ). Точка P имеет положительную координату y , и sin θ = sin(π− θ ) > 0. Когда θ увеличивается от нуля до полной окружности θ = 2π, синус и косинус меняют знаки в различных квадрантах, чтобы сохранить x и y. с правильными знаками. На рисунке показано, как меняется знак синусоидальной функции при изменении квадранта угла.

Поскольку оси x и y перпендикулярны, это тождество Пифагора эквивалентно теореме Пифагора для треугольников с гипотенузой длины 1 (которая, в свою очередь, эквивалентна полной теореме Пифагора с применением аргумента о подобных треугольниках). см. в разделе «Единичный круг» Краткое объяснение .

Доказательство с использованием степенного ряда

Тригонометрические функции также могут быть определены с использованием степенного ряда , а именно (для x - угла, измеряемого в радианах ): ^[4]^[5]

{\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

Используя формулу умножения степенного ряда в разделе Умножение и деление степенного ряда (модифицированную соответствующим образом для учета формы ряда здесь), мы получаем

{\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

В выражении греха ², n должно быть не менее 1, а в выражении для cos ², постоянный член равен 1. Остальные члены их суммы равны (без общих множителей)

\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0

по биномиальной теореме . Следовательно,

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

что является тригонометрическим тождеством Пифагора.

Когда тригонометрические функции определяются таким образом, тождество в сочетании с теоремой Пифагора показывает, что эти степенные ряды параметризуют единичный круг, который мы использовали в предыдущем разделе. Это определение строго строит функции синуса и косинуса и доказывает, что они дифференцируемы , так что фактически оно включает в себя две предыдущие.

Доказательство с использованием дифференциального уравнения

Синус и косинус можно определить как два решения дифференциального уравнения : ^[6]

y''+y=0

удовлетворяющие соответственно $y (0) = 0, y'(0) = 1$ и $y (0) = 1, y'(0) = 0$ . Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений второе, косинус следует, что первое решение, синус, имеет в качестве производной , а из этого следует, что производная косинуса является отрицательной величиной синуса. Тождество эквивалентно утверждению, что функция

z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x

постоянен и равен 1. Дифференцирование с использованием правила цепочки дает:

{\frac {d}{dx}}z=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0,

поэтому z является постоянным. Расчет подтверждает, что z (0) = 1, а z является константой, поэтому z = 1 для всех x , поэтому тождество Пифагора установлено.

Аналогичное доказательство можно завершить, используя приведенный выше степенной ряд, чтобы установить, что производной синуса является косинус, а производной косинуса - отрицательный синус. Фактически, определения с помощью обыкновенного дифференциального уравнения и степенного ряда приводят к аналогичным выводам большинства тождеств.

Это доказательство тождества не имеет прямой связи с доказательством Евклидом теоремы Пифагора.

Доказательство по формуле Эйлера.

Используя формулу Эйлера $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ и факторинг $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$ как комплексная разность двух квадратов ,

{\begin{aligned}1&=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\[3mu]&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\[3mu]&=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}

См. также

Примечания

^ Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus - простой способ (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п. 296 . ISBN 0-7641-2892-2 .
^ Этот результат можно найти по формуле расстояния $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ для расстояния от начала координат до точки $(x,\ y)$ . Видеть Синтия Ю. Янг (2009). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Уайли. п. 210. ИСБН 978-0-470-22273-7 . Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто заменить значения и определить, что график представляет собой круг.
^ Томас В. Хангерфорд , Дуглас Дж. Шоу (2008). «§6.2 Функции синус, косинус и тангенс» . Современный предисчисление: графический подход (5-е изд.). Cengage Обучение. п. 442. ИСБН 978-0-495-10833-7 .
^ Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). «Силовой сериал» . Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. п. 714. ИСБН 0-691-04289-6 .
^ Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3» . Реальный анализ и основы (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 269–270. ISBN 1-58488-483-5 .
^ Тын Мьинт У., Локенат Дебнат (2007). «Пример 8.12.1» . Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Спрингер. п. 316. ИСБН 978-0-8176-4393-5 .

[Leff-1] Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus - простой способ (7-е изд.). Образовательная серия Бэррона. п. 296 . ISBN 0-7641-2892-2 .

[circle-2] Этот результат можно найти по формуле расстояния $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ для расстояния от начала координат до точки $(x,\ y)$ . Видеть Синтия Ю. Янг (2009). Алгебра и тригонометрия (2-е изд.). Уайли. п. 210. ИСБН 978-0-470-22273-7 . Этот подход предполагает теорему Пифагора. В качестве альтернативы можно просто заменить значения и определить, что график представляет собой круг.

[Shaw-3] Томас В. Хангерфорд , Дуглас Дж. Шоу (2008). «§6.2 Функции синус, косинус и тангенс» . Современный предисчисление: графический подход (5-е изд.). Cengage Обучение. п. 442. ИСБН 978-0-495-10833-7 .

[Hamilton-4] Джеймс Дуглас Гамильтон (1994). «Силовой сериал» . Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. п. 714. ИСБН 0-691-04289-6 .

[Krantz-5] Стивен Джордж Кранц (2005). «Определение 10.3» . Реальный анализ и основы (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 269–270. ISBN 1-58488-483-5 .

[Debnath-6] Тын Мьинт У., Локенат Дебнат (2007). «Пример 8.12.1» . Линейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Спрингер. п. 316. ИСБН 978-0-8176-4393-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]