Омега-константа

Константа омега — это математическая константа, определяемая как уникальное действительное число , удовлетворяющее уравнению

\Omega e^{\Omega }=1.

Это значение $W (1)$ , где $W$ — Ламберта $W$ - функция . Название происходит от альтернативного названия $W$ -функции Ламберта — омега-функции . Числовое значение $Ω$ определяется выражением

Ω = 0,56714 3290409783872999968662210 ...

(последовательность A030178 в OEIS ).

1/Ом = 1,76322 2834351896710225201776951 ...

(последовательность A030797 в OEIS ).

Свойства [ править ]

Представление с фиксированной точкой [ править ]

Определяющее тождество может быть выражено, например, как

\ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .

или

-\ln(\Omega )=\Omega

а также

e^{-\Omega }=\Omega .

Вычисление [ править ]

Можно вычислить $Ω$ итеративно , начав с начального предположения $Ω 0$ и рассматривая последовательность

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.

Эта последовательность будет сходиться к $Ω$ , когда $n$ приближается к бесконечности. Это связано с тем, что $Ω$ является притягивающей неподвижной точкой функции $e - х$ .

Гораздо эффективнее использовать итерацию

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},

потому что функция

f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},

Помимо того, что он имеет одну и ту же фиксированную точку, он также имеет производную, которая исчезает там. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр увеличивается примерно вдвое с каждой итерацией.

Используя метод Галлея , $Ω$ можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости (количество правильных цифр примерно утраивается с каждой итерацией): (см. также функцию Ламберта W § Численная оценка ).

\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.

Интегральные представления [ править ]

Личность из-за ^{[ нужна цитата ]}Виктор Адамчик ^{[ нужна цитата ]} задается отношением

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.

Другие отношения из-за Мезё ^[1]^[2] и Калугин-Джеффри-Корлесс ^[3] являются:

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.

Последние два тождества можно распространить на другие значения функции $W$ (см. также функцию Ламберта W § Представления ).

Трансцендентность [ править ]

Константа $Ω$ трансцендентна . Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдеманна-Вейерштрасса . В качестве противоречия предположим, что $Ω$ алгебраична. По теореме $e - Ой$ оно трансцендентно, но $Ω = e - Ой$ , что является противоречием. Следовательно, оно должно быть трансцендентным. ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Мезё, Иштван. «Интегральное представление главной ветви функции Ламберта W » . Проверено 24 апреля 2022 г.
^ Мезё, Иштван (2020). «Интегральное представление функции Ламберта W». arXiv : 2012.02480 [ math.CA ]. .
^ Калугин Герман А.; Джеффри, Дэвид Дж.; Корлесс, Роберт М. (2011). «Стилтьес, Пуассон и другие интегральные представления для функций Ламберта W». arXiv : 1103.5640 [ math.CV ]. .
^ Мезё, Иштван; Барич, Арпад (ноябрь 2017 г.). «Об обобщении функции Ламберта W» (PDF) . Труды Американского математического общества . 369 (11): 7928 . Проверено 28 апреля 2023 г.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Константа Омега» . Математический мир .
«Константа Омега (1 000 000 цифр)» , коммуникационная группа Darkside (в Японии) , получено 25 декабря 2017 г.

[1] Мезё, Иштван. «Интегральное представление главной ветви функции Ламберта W » . Проверено 24 апреля 2022 г.

[2] Мезё, Иштван (2020). «Интегральное представление функции Ламберта W». arXiv : 2012.02480 [ math.CA ]. .

[3] Калугин Герман А.; Джеффри, Дэвид Дж.; Корлесс, Роберт М. (2011). «Стилтьес, Пуассон и другие интегральные представления для функций Ламберта W». arXiv : 1103.5640 [ math.CV ]. .

[Mezo-4] Мезё, Иштван; Барич, Арпад (ноябрь 2017 г.). «Об обобщении функции Ламберта W» (PDF) . Труды Американского математического общества . 369 (11): 7928 . Проверено 28 апреля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]