Омега-константа

Эта статья о конкретном значении W-функции Ламберта. Чтобы узнать о других константах омеги, см. омега (значения) § Математика .

— Константа омега это математическая константа, определяемая как уникальное действительное число , удовлетворяющее уравнению

$\Omega e^{\Omega }=1.$

Это значение W (1) , где W — Ламберта W -функция . Название происходит от альтернативного названия W -функции Ламберта — омега-функции . Числовое значение Ω определяется выражением

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (последовательность A030178 в OEIS ).

1/Ом = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (последовательность A030797 в OEIS ).

Свойства

Представление с фиксированной точкой

Определяющее тождество может быть выражено, например, как

$\ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .$

или

$-\ln(\Omega )=\Omega$

а также

$e^{-\Omega }=\Omega .$

Вычисление

Можно вычислить Ω итеративно , начав с первоначального предположения Ω ₀ и рассматривая последовательность

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.$

Эта последовательность будет сходиться к Ω, когда n приближается к бесконечности. Это связано с тем, что Ω является притягивающей неподвижной точкой функции e ^{− х} .

Гораздо эффективнее использовать итерацию

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},$

потому что функция

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},$

Помимо того, что он имеет одну и ту же фиксированную точку, он также имеет производную, которая исчезает там. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр увеличивается примерно вдвое с каждой итерацией.

Используя метод Галлея , Ω можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости (количество правильных цифр примерно утраивается с каждой итерацией): (см. также функцию Ламберта W § Численная оценка ).

$\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.$

Интегральные представления

Личность из-за Виктор Адамчик задается отношением

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.$

Другие отношения из-за Мезё и Калугин-Джеффри-Корлесс являются:

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,$

$\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.$

Последние два тождества можно распространить на другие значения функции W (см. также функцию Ламберта W § Представления ).

Трансцендентность

Константа Ω трансцендентна ​ . Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана-Вейерштрасса . В качестве противоречия предположим, что Ω алгебраична. По теореме e ^{- Ой} трансцендентно, но Ω = e ^{- Ой} , что является противоречием. Следовательно, оно должно быть трансцендентным.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Омега» . Математический мир .
• «Константа Омега (1 000 000 цифр)» , коммуникационная группа Darkside (в Японии) , получено 25 декабря 2017 г.