Прямоугольные крылья

Прямоугольник Айля

Прямоугольник Айля — это прямоугольник, построенный из четырех прямоугольных треугольников , который обычно используется на уроках геометрии для нахождения значений тригонометрических функций 15 ° и 75 °. Он назван в честь Дугласа С. Эйлса, который был учителем средней школы в Университетском институте Киплинга в Торонто .

Строительство

Треугольник со сторонами 30–60–90° имеет стороны длиной 1, 2 и ${\sqrt {3}}$. Когда два таких треугольника расположены в положениях, показанных на рисунке, наименьший прямоугольник, который может их окружить, имеет ширину $1+{\sqrt {3}}$ и высота ${\sqrt {3}}$. Проведение линии, соединяющей верхние углы исходных треугольников, создает треугольник 45–45–90 ° между ними со сторонами длиной 2, 2 и (по теореме Пифагора ). $2{\sqrt {2}}$. Оставшееся пространство вверху прямоугольника представляет собой прямоугольный треугольник с острыми углами 15° и 75° и сторонами ${\sqrt {3}}-1$, ${\sqrt {3}}+1$, и $2{\sqrt {2}}$.

Производные тригонометрические формулы

Из построения прямоугольника следует, что

$\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},$

$\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},$

$\tan 15^{\circ }=\cot 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},$

и

$\tan 75^{\circ }=\cot 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.$

Вариант

Альтернативная конструкция (также предложенная Эйлем) помещает в середине треугольник 30–60–90 ° с длиной сторон ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {6}}$, и $2{\sqrt {2}}$. Каждый из его катетов представляет собой гипотенузу треугольника со сторонами 45–45–90°, длина катета которого равна $1$ и один с длинными ногами ${\sqrt {3}}$. Треугольник 15°–75°–90° такой же, как указано выше.

См. также

• Точные тригонометрические значения