Теорема Нивена

В математике , утверждает , теорема Нивена , названная в честь Ивана Нивена что единственные рациональные значения θ интервале 0 ° ≤ θ ≤ 90 °, для которых синус θ в градусов также является рациональным числом: ^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}

В радианах можно было бы потребовать, чтобы 0 ≤ x ≤ $π$ /2, чтобы x / $π$ было рациональным и чтобы sin x был рациональным. Вывод заключается в том, что единственными такими значениями являются sin 0 = 0, sin $π$ /6 = 1/2 и sin $π$ /2 = 1.

Теорема появляется как следствие 3.12 в книге Нивена об иррациональных числах . ^{[ 2 ]}

Теорема распространяется на другие тригонометрические функции . и ^{[ 2 ]} Для рациональных значений θ единственными рациональными значениями синуса или косинуса являются 0, ±1/2 и ±1; единственные рациональные значения секущего или косеканса — ±1 и ±2; и единственными рациональными значениями тангенса или котангенса являются 0 и ±1. ^{[ 3 ]}

История

Доказательство Нивена своей теоремы содержится в его книге «Иррациональные числа». Ранее теорема была доказана Д. Х. Лемером и Дж. М. Х. Олмстедом. ^{[ 2 ]} В своей статье 1933 года Лемер доказал теорему для косинуса, доказав более общий результат. А именно, Лемер показал, что для относительно простых целых чисел $k$ и $n$ с $n>2$ , число $2\cos(2\pi k/n)$ — алгебраическое число степени $\varphi (n)/2$ , где $\varphi$ обозначает тотент-функцию Эйлера . Поскольку рациональные числа имеют степень 1, мы должны иметь $\varphi (n)=2$ и поэтому единственные возможности $n={}$ 1, 2, 3, 4 или 6. Затем он доказал соответствующий результат для синуса, используя тригонометрическое тождество $\sin(\theta )=\cos(\theta -\pi /2)$ . ^{[ 4 ]} В 1956 году Нивен распространил результат Лемера на другие тригонометрические функции. ^{[ 2 ]} В последующие годы другие математики представили новые доказательства. ^{[ 3 ]}

См. также

Тройки Пифагора образуют прямоугольные треугольники, в которых тригонометрические функции всегда принимают рациональные значения, хотя острые углы нерациональны.
Тригонометрические функции
Тригонометрическое число

Ссылки

^ Шаумбергер, Норман (1974). «Классная теорема о тригонометрических иррациональности». Двухлетний математический журнал колледжа . 5 (1): 73–76. дои : 10.2307/3026991 . JSTOR 3026991 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа . Каруса Математические монографии . Математическая ассоциация Америки . п. 41 . МР 0080123 .
^ Jump up to: ^а ^б Доказательство косинусного случая содержится в лемме 12 в Беннетт, Кертис Д.; Стекло, AMW; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячник . 111 (4): 322–329. дои : 10.2307/4145241 . JSTOR 4145241 . МР 2057186 .
^ Лемер, Деррик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 165–166. дои : 10.2307/2301023 . JSTOR 2301023 .

Дальнейшее чтение

Олмстед, JMH (1945). «Рациональные значения тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник . 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540 .
Янель, Йорг (2010). «Когда (ко)синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv : 1006.2938 [ math.HO ].

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Нивена» . Математический мир .
Теорема Нивена в ProofWiki

[1] Шаумбергер, Норман (1974). «Классная теорема о тригонометрических иррациональности». Двухлетний математический журнал колледжа . 5 (1): 73–76. дои : 10.2307/3026991 . JSTOR 3026991 .

[niven-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа . Каруса Математические монографии . Математическая ассоциация Америки . п. 41 . МР 0080123 .

[bgs-3] Jump up to: ^а ^б Доказательство косинусного случая содержится в лемме 12 в Беннетт, Кертис Д.; Стекло, AMW; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячник . 111 (4): 322–329. дои : 10.2307/4145241 . JSTOR 4145241 . МР 2057186 .

[Lehmer-4] Лемер, Деррик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 165–166. дои : 10.2307/2301023 . JSTOR 2301023 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]