Константы Феллера при подбрасывании монеты

Константы подбрасывания монеты Феллера представляют собой набор числовых констант, которые описывают асимптотические вероятности того, что при n независимых подбрасываниях честной монеты не появляется серия из k последовательных орлов (или, что равно, решек).

Уильям Феллер показал что если эту вероятность записать как p ( n , k ), то

$\lim _{n\rightarrow \infty }p(n,k)\alpha _{k}^{n+1}=\beta _{k}$

где α _k — наименьший положительный действительный корень из

$x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)$

и

$\beta _{k}={2-\alpha _{k} \over k+1-k\alpha _{k}}.$

Значения констант

к	$\alpha _{k}$	$\beta _{k}$
1	2	2
2	1.23606797...	1.44721359...
3	1.08737802...	1.23683983...
4	1.03758012...	1.13268577...

Для $k=2$ константы связаны с золотым сечением , $\varphi$, и числа Фибоначчи ; константы ${\sqrt {5}}-1=2\varphi -2=2/\varphi$ и $1+1/{\sqrt {5}}$. Точную вероятность p (n,2) можно рассчитать либо с помощью чисел Фибоначчи , p (n,2) = ${\tfrac {F_{n+2}}{2^{n}}}$ или путем решения прямого рекуррентного соотношения, приводящего к тому же результату. Для более высоких значений $k$, константы связаны с обобщениями чисел Фибоначчи, такими как числа трибоначчи и тетраначчи. Соответствующие точные вероятности можно вычислить как p (n,k) = ${\tfrac {F_{n+2}^{(k)}}{2^{n}}}$.

Пример

Если мы подбросим честную монету десять раз, то точная вероятность того, что ни одна пара орлов не выпадет подряд (т. е. n = 10 и k = 2), равна p (10,2) = ${\tfrac {9}{64}}$ = 0,140625. Приближение $p(n,k)\approx \beta _{k}/\alpha _{k}^{n+1}$ дает 1,44721356...×1,23606797... ⁻¹¹  = 0.1406263...

Внешние ссылки

• Константы Стива Финча в Mathsoft