постоянная Гельфонда

В математике , константа Гельфонда , названная в честь Александра Гельфонда равна e ^п , то есть e, возведенное в степень π . Как и e, и π , эта константа является трансцендентным числом . Впервые это было установлено Гельфондом и теперь может рассматриваться как применение теоремы Гельфонда – Шнайдера , отметив, что

$$e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},$$

где я — мнимая единица . Поскольку − i алгебраичен, но не рационален, e ^п является трансцендентным. Константа упоминалась в седьмой проблеме Гильберта . Соответствующая константа равна 2 ^{√ 2} , известная как константа Гельфонда-Шнайдера . Соответствующее значение π + e ^п также иррационально .

Числовое значение

Начинается десятичное разложение константы Гельфонда.

$e^{\pi }=$ 23.140 692 632 779 269 005 729 086 367 948 547 380 266 106 242 600 211 993 445 046 409 524 342 350 690 452 783 516 971 997 067 549 2196 ... OEIS : A039661

Строительство

Если определить k ₀ = ⁠ 1 / √ 2 ⁠ и

$$k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$$

для n > 0 , то последовательность

$$(4/k_{n+1})^{2^{-n}}$$

быстро сходится к e ^п .

Продолжение расширения фракции

$$e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Это основано на цифрах простой цепной дроби :

$$e^{\pi }=[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,2,2,1,3,1,7,1,2,2,2,1,2,3,2,166,1,2,1,4,8,10,1,1,7,1,2,3,566,1,2,3,3,1,20,1,2,19,1,3,2,1,2,13,2,2,11,...]$$

Как задано целочисленной последовательностью A058287 .

Геометрическое свойство

Объем ( n -мерного шара или n -шара ) определяется выражением

$$V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},$$

где R — его радиус, а Γ — гамма-функция . Любой четный шар имеет объем.

$$V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}R^{2n},$$

и, суммируя все объемы единичных шаров ( R = 1 ) четных измерений, дает

$$\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R=1)=e^{\pi }.$$

Похожие или связанные константы

постоянная Рамануджана

$$e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{Gelfond's constant}})^{\sqrt {163}}$$

Это известно как константа Рамануджана . Это применение чисел Хигнера , где 163 — рассматриваемое число Хигнера.

Похоже на : е ^п - пи , е ^{π √ 163} очень близко к целому числу:

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=$ 262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 862 707 537 410 378 210 647 910 118 607 3129 ... $\approx 640\,320^{3}+744$

Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . В первоапрельской статье 1975 года в Scientific American : журнале Обозреватель журнала «Математические игры» Мартин Гарднер выдвинул ложное заявление о том, что число на самом деле было целым и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан его предсказал — отсюда и его название.

Случайная близость с точностью до 0,000 000 000 000 75 числа 640320. ³ +744 объясняется комплексным умножением и q -разложением j -инварианта , а именно:

$$j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}$$

и,

$$(-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)$$

где О ( е ^{- π √ 163} ) — член ошибки,

$${\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$$

что объясняет, почему e ^{π √ 163} составляет 0,000 000 000 000 75 ниже 640320 ³ + 744 .

(Более подробную информацию об этом доказательстве можно найти в статье о числах Хигнера .)

Число е ^п − п

Десятичное разложение e ^п − π определяется как A018938 :

$e^{\pi }-\pi =$ 19.999 099 979 189 475 767 266 442 984 669 044 496 068 936 843 225 106 172 470 101 817 216 525 944 404 243 784 888 937 171 725 432 1516 ...

Это примерно равно:

19.999 10

Объяснение этому, казалось бы, замечательному совпадению было дано А. Доманом в сентябре 2023 года и является результатом суммы, связанной с тэта-функциями Якоби следующим образом: $$\sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.$$ Первое слагаемое доминирует, так как сумма слагаемых для $k\geq 2$ общий $\sim 0.0003436.$ Таким образом, сумму можно сократить до $\left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,$ где решение для $e^{\pi }$ дает $e^{\pi }\approx 8\pi -2.$ Переписав приближение для $e^{\pi }$ и используя приближение для $7\pi \approx 22$ дает $$e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.$$Таким образом, перестановка членов дает $e^{\pi }-\pi \approx 20.$ По иронии судьбы, грубое приближение для $7\pi$ дает дополнительный порядок точности.

Число π ^и

Десятичное разложение π ^и определяется A059850 :

$\pi ^{e}=$ 22.459 157 718 361 045 473 427 152 204 543 735 027 589 315 133 996 692 249 203 002 554 066 926 040 399 117 912 318 519 752 727 143 0315 ...

Неизвестно, является ли это число трансцендентным. Обратите внимание, что по теореме Гельфонда-Шнайдера мы можем только окончательно заключить, что ^б является трансцендентным, если a является алгебраическим, а b не является рациональным ( a и b считаются комплексными числами , а также a ≠ 0 , a ≠ 1 ).

В случае э ^п , мы можем доказать, что это число трансцендентно только благодаря свойствам комплексных экспоненциальных форм, где π считается модулем комплексного числа e ^п , и указанная выше эквивалентность для преобразования ее в (-1) ^{- я} , позволяющий применить теорему Гельфонда-Шнайдера.

п ^и не имеет такой эквивалентности, и, следовательно, поскольку и π , и e трансцендентны, мы не можем сделать никакого вывода о трансцендентности π ^и .

Число е ^п − п ^и

Как и в случае с π ^и , неизвестно, является ли e ^п − п ^и является трансцендентным. Более того, не существует доказательств того, является ли это иррациональным.

Десятичное расширение для e ^п − п ^и определяется A063504 :

$e^{\pi }-\pi ^{e}=$ 0.681 534 914 418 223 532 301 934 163 404 812 352 676 791 108 603 519 744 242 043 855 457 416 310 291 334 871 198 452 244 340 406 1881 ...

Число я ^я

Используя главное значение комплексного логарифма , $$i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}$$

Десятичное расширение задается A049006 :

$i^{i}=$ 0.207 879 576 350 761 908 546 955 619 834 978 770 033 877 841 631 769 608 075 135 883 055 419 877 285 482 139 788 600 277 865 426 0353 ...

Благодаря эквивалентности мы можем использовать теорему Гельфонда-Шнайдера, чтобы доказать, что обратный квадратный корень из константы Гельфонда также трансцендентен:

i является одновременно алгебраическим (решение многочлена x ² + 1 = 0 ), а не рационально, следовательно, i ^я является трансцендентным.

См. также

• Трансцендентное число
• Трансцендентная теория чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами.
• Личность Эйлера
• Константа Гельфонда – Шнайдера

Дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц , Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN   978-0-521-88268-2

Внешние ссылки

• Константа Гельфонда в MathWorld
• Новая сложная идентичность электровышки для константы Гельфонда.
• Почти целое число в MathWorld