постоянная Фойаса

Эволюция последовательности $x_{n+1}=(1+1/x_{n})^{n}$ для нескольких значений $x_{1}$, вокруг постоянной Фойаса $\alpha$. Эволюция для $x_{1}=\alpha$ находится в зеленом цвете. Другие начальные значения приводят к двум точкам накопления: 1 и $\infty$. . логарифмическая шкала Используется

В математическом анализе константа Фояса — это действительное число, названное в честь Чиприана Фойаса .

Оно определяется следующим образом: для каждого действительного числа x ₁ > 0 существует последовательность , определяемая рекуррентным соотношением

$x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}$

для n = 1, 2, 3, .... Константа Фойаса — это единственный выбор α такой, что если x ₁ = α , то последовательность расходится до бесконечности. Для всех остальных значений x ₁ последовательность также расходится, но имеет две точки накопления : 1 и бесконечность. Численно это

$\alpha =1.187452351126501\ldots$.

. Замкнутая форма константы неизвестна

Когда x ₁ = α , то скорость роста последовательности ( x _n ) определяется пределом

$\lim _{n\to \infty }x_{n}{\frac {\log n}{n}}=1,$

где «log» обозначает натуральный логарифм .

Те же методы, которые использовались при доказательстве единственности константы Фойаса, могут быть применены и к другим подобным рекурсивным последовательностям.

См. также

• Математическая константа

Примечания и ссылки

• С.Р. Финч (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета. п. 430 . ISBN  0-521-818-052 . Фойас постоянный.