Константа Чамперноуна

В математике C константа Чамперноуна 10 _— это трансцендентная действительная константа , десятичное разложение которой имеет важные свойства. Она названа в честь экономиста и математика Д. Г. Чамперноуна , опубликовавшего ее еще будучи студентом в 1933 году. Число определяется путем объединения представлений по основанию 10 положительных целых чисел :

C ₁₀ = 0,12345678910111213141516... (последовательность A033307 в OEIS ).

Константы Чамперноуна также могут быть построены аналогичным образом в других базисах; например,

С ₂ = 0,11011100101110111... ₂

и

С ₃ = 0,12101112202122... ₃ .

Слово Champernowe или слово Barbier представляет собой последовательность цифр C _10, полученную путем записи ее по основанию 10 и сопоставления цифр:

12345678910111213141516... (последовательность A007376 в OEIS )

В более общем смысле, последовательность Чамперноуна (иногда также называемая словом Чамперноуна ) — это любая последовательность цифр, полученная путем объединения всех конечных строк цифр (в любой заданной базе) в некотором рекурсивном порядке. Например, двоичная последовательность Чамперноуна в шортлексном порядке имеет вид

0 1 00 01 10 11 000 001 ... (последовательность A076478 в OEIS )

где пробелы (в противном случае их следует игнорировать) были вставлены только для того, чтобы показать объединяемые строки.

Свойства

Действительное число x называется нормальным , если его цифры по каждому основанию распределены равномерно: все цифры одинаково вероятны, все пары цифр одинаково вероятны, все тройки цифр одинаково вероятны и т. д. Число x называется нормальным. по базе b, если его цифры по базе b распределены равномерно.

Если мы обозначим строку цифр как [ a ₀ , a ₁ , ...], то в системе счисления 10 мы ожидаем, что строки [0], [1], [2], …, [9] будут встречаться 1/ 10 раз, строки [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] встречаются в 1/100 случаев и т. д. в нормальном количестве. .

Чамперноун доказал, что $C_{10}$ нормально по основанию 10, в то время как Накаи и Сиокава доказали более общую теорему, следствием которой является то, что $C_{b}$ в базе это нормально $b$ для любого б . Это открытый вопрос, является ли $C_{k}$ в базах это нормально $b\neq k$. Например, неизвестно, $C_{10}$ нормально в системе счисления 9. Например, 54 цифры числа $C_{10}$ составляет 0,123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Выразив это в системе счисления 9, мы получим ${0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}$.

Курт Малер показал, что константа трансцендентна . Мера иррациональности ​ $C_{10}$ является $\mu (C_{10})=10$и вообще $\mu (C_{b})=b$ для любой базы $b\geq 2$.

Слово Champernowne представляет собой дизъюнктивную последовательность . Дизъюнктивная последовательность — это бесконечная последовательность (по конечному алфавиту символов . ), в которой каждая конечная строка появляется как подстрока

Серия

Определение постоянной Чамперноуна немедленно приводит к представлению бесконечной серии, включающей двойную сумму:

$$C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-\delta _{10}(n)}\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}}},$$

где $\delta _{10}(n)=9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell$ — количество цифр между десятичной запятой и первым вкладом n- значного числа по основанию 10; эти выражения обобщаются на произвольную базу b путем замены 10 и 9 на b и b - 1 соответственно. Альтернативные формы:

$$C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}\left\lceil \log _{b}(k+1)\right\rceil \right)}$$

и

$$C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left\lfloor \log _{b}(k+1)\right\rfloor \right)},$$

где $\lfloor x\rfloor$ и $\lceil x\rceil$ обозначают функции пола и потолка .

Возвращаясь к первому из этих рядов, и слагаемое внешней суммы, и выражение для $\delta _{b}(n)$ можно упростить, используя замкнутую форму двумерного геометрического ряда :

$$\sum _{k=n}^{\infty }ka^{k}=a^{n}{\frac {n-(n-1)a}{(1-a)^{2}}}.$$

Полученное выражение для $\delta _{b}(n)$ является

$$\delta _{b}(n)=(b-1)\sum _{\ell =1}^{n-1}b^{\ell -1}\ell ={\frac {1}{b-1}}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right),$$

а слагаемое внешней суммы становится

$${\begin{aligned}b^{-\delta _{b}(n)}\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}}&=b^{-\delta _{b}(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum _{k=b^{n-1}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}-\sum _{k=b^{n}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}\right)\\&={\frac {b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n)}-{\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n+1)}.\end{aligned}}$$

Суммирование по всем n ≥ 1 дает

$$C_{b}={\frac {b}{(b-1)^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}-{\frac {b^{2n+1}-b^{n}+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^{2}}}\right)b^{-\delta _{b}(n+1)}.$$

Заметим, что в слагаемом выражение в скобках приблизительно равно ${\frac {b-1}{b}}$ для n ≥ 2 и быстро приближается к этому значению с ростом n , а показатель степени $\delta _{b}(n+1)$ растет экспоненциально с ростом n . Как следствие, каждый дополнительный член дает экспоненциально растущее количество правильных цифр, хотя количество цифр в числителях и знаменателях дробей, составляющих эти члены, растет только линейно. Например, первые несколько членов C ₁₀ равны

$$C_{10}={\frac {10}{81}}-\left[\left({\frac {91}{81}}-{\frac {991}{9801}}\right)\times 10^{-9}+\left({\frac {9901}{9801}}-{\frac {99901}{998001}}\right)\times 10^{-189}+\left({\frac {999001}{998001}}-{\frac {9999001}{99980001}}\right)\times 10^{-2889}+\ldots \right].$$

дроби

Первые 161 частное цепной дроби константы Чамперноуна. 4-й, 18-й, 40-й и 101-й намного больше 270, поэтому не отображаются на графике.

Первые 161 частное цепной дроби константы Чамперноуна в логарифмическом масштабе .

Простое в цепную дробь разложение константы Чамперноуна не заканчивается (поскольку константа нерациональна ) и является апериодическим (поскольку она не является неприводимым квадратичным уравнением). Простая цепная дробь — это цепная дробь, знаменатель которой равен 1. в простую цепную дробь Разложение константы Чамперноуна демонстрирует чрезвычайно большие члены, возникающие между многими маленькими. Например, по основанию 10,

С ₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 555 00 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...]. (последовательность A030167 в OEIS )

Большое число в позиции 18 имеет 166 цифр, а следующий очень большой член в позиции 40 цепной дроби имеет 2504 цифры. Наличие таких больших чисел в качестве членов разложения в цепную дробь означает, что подходящие дроби, полученные остановкой перед этими большими числами, обеспечивают исключительно хорошее приближение константы Чамперноуна. Например, усечение непосредственно перед четвертым частным дает

$$10/81=\sum _{k=1}^{\infty }k/10^{k}=0.{\overline {123456790}},$$

который соответствует первому члену в быстро сходящемся разложении в ряд из предыдущего раздела и аппроксимирует константу Чамперноуна с ошибкой около 1 × 10. ⁻⁹ . Усечение непосредственно перед 18-м частным дает приближение, соответствующее первым двум членам ряда, то есть членам до члена, содержащего 10. ⁻⁹ ,

$${\begin{aligned}{\frac {60499999499}{490050000000}}&=0.123456789+10^{-9}\sum _{k=10}^{\infty }k/10^{2(k-9)}=0.123456789+10^{-9}{\frac {991}{9801}}\\&=0.123456789{\overline {10111213141516171819\ldots 90919293949596979900010203040506070809}},\end{aligned}}$$

которая аппроксимирует константу Чамперноуна с ошибкой примерно 9 × 10. ⁻¹⁹⁰ .

Первый и второй по величине члены («высшие показатели») после начального нуля равны 8 и 9 соответственно и встречаются в позициях 1 и 2. Сикора (2012) заметил, что количество цифр в верхних точках начиная с четвертого отображения видимой закономерности. Действительно, сами верхние отметки растут вдвойне экспоненциально, а количество цифр $d_{n}$ в n- й отметке за $n\geqslant 3$ являются

6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11111 092 , ...

закономерность которого становится очевидной, начиная с 6-й максимальной отметки. Количество терминов может быть задано выражением

$$d_{n}={\frac {13-67\times 10^{n-3}}{45}}+\left(2^{n}5^{n-3}-2\right),n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right).$$

Однако до сих пор неизвестно, существует ли способ определить, где встречаются большие термины (минимум из 6 цифр) или их значения. Сами отметки паводков располагаются на позициях

1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, .... (последовательность A143533 в OEIS )

См. также

• Константа Коупленда-Эрдёша , аналогичное нормальное число, определяемое с помощью простых чисел.
• Константа Лиувилля , еще одна константа, определяемая ее десятичным представлением.
• Число Смарандаша – Веллина , другое число, полученное путем объединения представлений в заданной базе.

Ссылки

• Кассень, Дж.; Николас, Ф. (2010). «Фактор сложности». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 163–247. ISBN  978-0-521-51597-9 . Збл   1216.68204 .
• Чамперноун, Д.Г. (1933), «Построение нормальных десятичных дробей в десятичной шкале», Журнал Лондонского математического общества , 8 (4): 254–260, doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.254 .
• Накаи, Ю.; Сиокава, И. (1992), «Оценки расхождения для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284 .