97,5-й процентиль

95% площади нормального распределения находится в пределах 1,96 стандартных отклонений от среднего значения.

В теории вероятности и статистике 97,5 -й процентиль стандартного нормального распределения — это число, обычно используемое для статистических расчетов. Приблизительное значение этого числа составляет 1,96 , что означает, что 95% площади под нормальной кривой находится в пределах примерно 1,96 стандартных отклонений от среднего значения . Из-за центральной предельной теоремы это число используется при построении приблизительных 95% доверительных интервалов . Его повсеместное распространение обусловлено произвольным, но распространенным соглашением об использовании доверительных интервалов с вероятностью 95% в науке и частотной статистике, хотя иногда используются и другие вероятности (90%, 99% и т. д.). ^[1]^[2]^[3]^[4] Это соглашение, по-видимому, особенно распространено в медицинской статистике. ^[5]^[6]^[7] но также распространен в других областях применения, таких как науки о Земле, ^[8] социальные науки и бизнес-исследования. ^[9]

Для этого номера не существует единого общепринятого названия; его также часто называют «стандартным нормальным отклонением », « нормальным показателем » или « оценкой Z » для процентиля 97,5, балла 0,975 или просто его приблизительного значения 1,96.

Если X имеет стандартное нормальное распределение, т.е. X ~ N(0,1),

\mathrm {P} (X>1.96)\approx 0.025,\,

\mathrm {P} (X<1.96)\approx 0.975,\,

и поскольку нормальное распределение симметрично,

\mathrm {P} (-1.96<X<1.96)\approx 0.95.\,

Одно из обозначений этого числа — z _.975 . ^[10] Из функции плотности вероятности стандартного нормального распределения точное значение z _0,975 определяется выражением

{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z_{.975}}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=0.975.

История [ править ]

Использование этого числа в прикладной статистике можно объяснить влиянием Рональда Фишера классического учебника « Статистические методы для научных работников» , впервые опубликованного в 1925 году:

«Значение, для которого P = 0,05, или 1 из 20, равно 1,96 или почти 2; удобно принять эту точку как предел при оценке того, следует ли считать отклонение значительным или нет». ^[11]

В таблице 1 той же работы он дал более точное значение 1,959964. ^[12] В 1970 году значение, усеченное до 20 десятичных знаков , было рассчитано как

1.95996 39845 40054 23552... ^[13]^[14]

Таким образом, обычно используемое приблизительное значение 1,96 имеет точность более одной части из 50 000, что более чем достаточно для прикладных работ.

Некоторые люди даже используют значение 2 вместо 1,96, указывая доверительный интервал 95,4% как доверительный интервал 95%. Это не рекомендуется, но иногда встречается. ^[15]

Функции программного обеспечения [ править ]

обратную стандартную нормальную CDF Для вычисления значения можно использовать . Ниже приведена таблица вызовов функций, которые возвращают 1,96 в некоторых часто используемых приложениях:

Приложение	Вызов функции
Эксель	НОРМ.С.ОБР (0,975)
МАТЛАБ	норминв (0,975)
р	qнорма (0,975)
Питон ( SciPy )	scipy.stats.norm.ppf (0,975)
САС	probit (0.025);
СПСС	x = ВЫЧИСИТЬ IDF.НОРМАЛЬНЫЙ (0,975,0,1).
Был	ненормальный (0,975)
Язык Wolfram ( Математика )	InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], 0,975] ^[16]^[17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Рис, Д.Г. (1987), Основы статистики , CRC Press, стр. 246, ISBN 0-412-28560-6 , Почему 95% уверенности? Почему не какой-то другой уровень доверия ? Использование 95% отчасти является общепринятым, но также используются такие уровни, как 90%, 98% и иногда 99,9%.
^ «Справочник по инженерной статистике: доверительные пределы для среднего» . Национальный институт стандартов и технологий. Архивировано из оригинала 5 февраля 2008 года . Проверено 4 февраля 2008 г. Хотя выбор коэффициента достоверности несколько произволен, на практике часто используются интервалы 90%, 95% и 99%, причем чаще всего используется интервал 95%.
^ Олсон, Эрик Т; Олсон, Тэмми Перри (2000), Реальная математика: статистика , Walch Publishing, стр. 66 , ISBN 0-8251-3863-9 Хотя могут быть выбраны и другие более строгие или более свободные пределы, статистики очень часто отдают предпочтение 95-процентному интервалу.
^ Свифт, МБ (2009). «Сравнение доверительных интервалов для среднего Пуассона - дальнейшие соображения». Коммуникации в статистике – теория и методы . 38 (5): 748–759. дои : 10.1080/03610920802255856 . S2CID 120748700 . В современной прикладной практике практически все доверительные интервалы устанавливаются на уровне 95%.
^ Саймон, Стив (2002), Почему доверительный интервал 95%? , архивировано из оригинала 28 января 2008 г. , получено 1 февраля 2008 г.
^ Мохер, Д; Шульц, К.Ф.; Альтман, Д.Г. (2001), «Заявление CONSORT: пересмотренные рекомендации по улучшению качества отчетов о рандомизированных исследованиях в параллельных группах». , Lancet , 357 (9263): 1191–1194, doi : 10.1016/S0140-6736(00)04337-3 , PMID 11323066 , S2CID 52871971 , получено 4 февраля 2008 г.
^ «Ресурсы для авторов: исследования» . BMJ Publishing Group Ltd. Архивировано из оригинала 18 июля 2009 года . Проверено 4 февраля 2008 г. Для стандартных оригинальных исследовательских статей укажите следующие заголовки и информацию: [...] результаты – основные результаты с (для количественных исследований) 95% доверительными интервалами и, при необходимости, точным уровнем статистической значимости и количеством пациентов, нуждающихся в лечении/ вред
^ Боррадейл, Грэм Дж. (2003), Статистика данных наук о Земле , Springer, стр. 79, ISBN 3-540-43603-0 , Для простоты мы принимаем принятое в науках о Земле соглашение о доверительном интервале 95%.
^ Кук, Сара (2004), «Измерение эффективности обслуживания клиентов» , Gower Publishing, стр. 24, ISBN 0-566-08538-0 , Большинство исследователей используют 95-процентный доверительный интервал.
^ Гослинг, Дж. (1995), Вводная статистика , Pascal Press, стр. 78–9, ISBN 1-86441-015-9
^ Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, стр. 47 , ISBN 0-05-002170-2
^ Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002170-2 , Таблица 1
^ Уайт, Джон С. (июнь 1970 г.), «Таблицы нормальных процентилей», Журнал Американской статистической ассоциации , 65 (330), Американская статистическая ассоциация: 635–638, doi : 10.2307/2284575 , JSTOR 2284575
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A220510» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ «Оценка среднего значения численности населения с использованием интервалов» . stat.wmich.edu . Лаборатория статистических вычислений. Архивировано из оригинала 4 июля 2018 года . Проверено 7 августа 2018 г.
^ InverseCDF , Центр языковой документации Wolfram.
^ NormalDistribution , Центр языковой документации Wolfram.

Дальнейшее чтение [ править ]

Гарднер, Мартин Дж; Альтман, Дуглас Дж. , ред. (1989), Статистика с уверенностью , BMJ Books, ISBN 978-0-7279-0222-1

[Rees-1] Рис, Д.Г. (1987), Основы статистики , CRC Press, стр. 246, ISBN 0-412-28560-6 , Почему 95% уверенности? Почему не какой-то другой уровень доверия ? Использование 95% отчасти является общепринятым, но также используются такие уровни, как 90%, 98% и иногда 99,9%.

[NIST-2] «Справочник по инженерной статистике: доверительные пределы для среднего» . Национальный институт стандартов и технологий. Архивировано из оригинала 5 февраля 2008 года . Проверено 4 февраля 2008 г. Хотя выбор коэффициента достоверности несколько произволен, на практике часто используются интервалы 90%, 95% и 99%, причем чаще всего используется интервал 95%.

[Olson-3] Олсон, Эрик Т; Олсон, Тэмми Перри (2000), Реальная математика: статистика , Walch Publishing, стр. 66 , ISBN 0-8251-3863-9 Хотя могут быть выбраны и другие более строгие или более свободные пределы, статистики очень часто отдают предпочтение 95-процентному интервалу.

[Swift-4] Свифт, МБ (2009). «Сравнение доверительных интервалов для среднего Пуассона - дальнейшие соображения». Коммуникации в статистике – теория и методы . 38 (5): 748–759. дои : 10.1080/03610920802255856 . S2CID 120748700 . В современной прикладной практике практически все доверительные интервалы устанавливаются на уровне 95%.

[Simon-5] Саймон, Стив (2002), Почему доверительный интервал 95%? , архивировано из оригинала 28 января 2008 г. , получено 1 февраля 2008 г.

[Moher-6] Мохер, Д; Шульц, К.Ф.; Альтман, Д.Г. (2001), «Заявление CONSORT: пересмотренные рекомендации по улучшению качества отчетов о рандомизированных исследованиях в параллельных группах». , Lancet , 357 (9263): 1191–1194, doi : 10.1016/S0140-6736(00)04337-3 , PMID 11323066 , S2CID 52871971 , получено 4 февраля 2008 г.

[BMJ-7] «Ресурсы для авторов: исследования» . BMJ Publishing Group Ltd. Архивировано из оригинала 18 июля 2009 года . Проверено 4 февраля 2008 г. Для стандартных оригинальных исследовательских статей укажите следующие заголовки и информацию: [...] результаты – основные результаты с (для количественных исследований) 95% доверительными интервалами и, при необходимости, точным уровнем статистической значимости и количеством пациентов, нуждающихся в лечении/ вред

[Borradaile-8] Боррадейл, Грэм Дж. (2003), Статистика данных наук о Земле , Springer, стр. 79, ISBN 3-540-43603-0 , Для простоты мы принимаем принятое в науках о Земле соглашение о доверительном интервале 95%.

[Cook-9] Кук, Сара (2004), «Измерение эффективности обслуживания клиентов» , Gower Publishing, стр. 24, ISBN 0-566-08538-0 , Большинство исследователей используют 95-процентный доверительный интервал.

[Gosling-10] Гослинг, Дж. (1995), Вводная статистика , Pascal Press, стр. 78–9, ISBN 1-86441-015-9

[11] Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, стр. 47 , ISBN 0-05-002170-2

[12] Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002170-2 , Таблица 1

[13] Уайт, Джон С. (июнь 1970 г.), «Таблицы нормальных процентилей», Журнал Американской статистической ассоциации , 65 (330), Американская статистическая ассоциация: 635–638, doi : 10.2307/2284575 , JSTOR 2284575

[14] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A220510» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[15] «Оценка среднего значения численности населения с использованием интервалов» . stat.wmich.edu . Лаборатория статистических вычислений. Архивировано из оригинала 4 июля 2018 года . Проверено 7 августа 2018 г.

[16] InverseCDF , Центр языковой документации Wolfram.

[17] NormalDistribution , Центр языковой документации Wolfram.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]