Константа Мейселя-Мертенса

В пределе сумма обратных простых чисел < n и функция ln(ln n ) разделены константой, константой Мейселя – Мертенса (обозначенной выше M).

Константа Мейселя -Мертенса (названная в честь Эрнста Мейселя и Франца Мертенса ), также называемая постоянной Мертенса , , постоянной Кронекера константой - де ла Валле-Пуссена Адамара или простой обратной константой , является математической константой в теории чисел. , определяемый как предельная разница между гармоническим рядом, суммируемым только по простым числам , и натуральным логарифмом натурального логарифма:

$M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].$

Здесь γ — константа Эйлера–Машерони , которая имеет аналогичное определение, включающее сумму по всем целым числам (а не только простым).

График суммы основных гармоник до $n=2^{15},2^{16},\ldots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}$ и приближение Мертена к нему. Оригинал этого рисунка имеет ось y длиной 8 см и охватывает интервал (2,5, 3,8), поэтому, если ось n будет отображаться в линейном масштабе, а не в логарифмическом, то это должно быть $5.33(3)\times 10^{9}$ км в длину — это размер Солнечной системы.

Значение М составляет приблизительно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516... (последовательность A077761 в OEIS ).

Вторая теорема Мертенса устанавливает, что предел существует.

Тот факт, что в пределе константы Мейселя-Мертенса есть два логарифма (логарифма), можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о простых числах и предела константы Эйлера-Машерони.

В популярной культуре

Константа Мейселя-Мертенса использовалась Google при торгах на патентном аукционе Nortel . Google разместил три ставки, основанные на математических числах: 1 902 160 540 долларов ( константа Бруна ), 2 614 972 128 долларов (константа Мейселя-Мертенса) и 3,14159 миллиарда долларов ( π ).

См. также

• Расхождение суммы обратных простых чисел
• Простая дзета-функция

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констант» . Математический мир .
• Об остатке из серии Мертенса (приписка)