Простая дзета-функция

В математике простая дзета-функция является аналогом дзета-функции Римана , изученной Глейшером (1891) . Он определяется как следующий бесконечный ряд , который сходится при $\Re (s)>1$:

$P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .$

Свойства

Произведение Эйлера для дзета-функции Римана ζ ( s ) означает, что

$\log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}$

что в результате обращения Мёбиуса дает

$P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}$

Когда s достигает 1, мы имеем $P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)$.Это используется в определении плотности Дирихле .

Это дает продолжение P ( s ) до $\Re (s)>0$, с бесконечным числом логарифмических особенностей в точках s , где ns — полюс (только ns = 1, когда n — бесквадратное число, большее или равное 1), или нуль дзета-функции Римана ζ ( . ). Линия $\Re (s)=0$ является естественной границей, поскольку особенности группируются вблизи всех точек этой линии.

Если определить последовательность

$a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}$

затем

$P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$

(Возведение в степень показывает, что это эквивалентно лемме 2.7 Ли.)

Простая дзета-функция связана с постоянной Артина соотношением

$\ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}$

где L _{n —} е n- число Люка .

Конкретные значения:

с	приблизительное значение P(s)	ОЭИС
1	${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots \to \infty .$
2	$0{.}45224{\text{ }}74200{\text{ }}41065{\text{ }}49850\ldots$	ОЭИС : A085548
3	$0{.}17476{\text{ }}26392{\text{ }}99443{\text{ }}53642\ldots$	ОЭИС : A085541
4	$0{.}07699{\text{ }}31397{\text{ }}64246{\text{ }}84494\ldots$	ОЭИС : A085964
5	$0{.}03575{\text{ }}50174{\text{ }}83924{\text{ }}25713\ldots$	ОЭИС : A085965
9	$0{.}00200{\text{ }}44675{\text{ }}74962{\text{ }}45066\ldots$	ОЭИС : A085969

Анализ

Интеграл

Интеграл по простой дзета-функции обычно привязан к бесконечности:потому что полюс в $s=1$ запрещает определение хорошей нижней границыв некотором конечном целом числе, не вдаваясь в обсуждение разрезов ветвей на комплексной плоскости:

$\int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}$

Примечательными являются значения, в которых суммы сходятся медленно:

с	приблизительная стоимость $\sum _{p}1/(p^{s}\log p)$	ОЭИС
1	$1.63661632\ldots$	ОЭИС : A137245
2	$0.50778218\ldots$	ОЭИС : A221711
3	$0.22120334\ldots$
4	$0.10266547\ldots$

Производная

Первая производная

$P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}$

Интересными значениями снова являются те, где суммы сходятся медленно:

с	приблизительная стоимость $P'(s)$	ОЭИС
2	$-0.493091109\ldots$	ОЭИС : A136271
3	$-0.150757555\ldots$	ОЭИС : A303493
4	$-0.060607633\ldots$	ОЭИС : A303494
5	$-0.026838601\ldots$	ОЭИС : A303495

Обобщения

Почти простые дзета-функции

Поскольку дзета-функция Римана представляет собой сумму обратных степеней целых чисела простая дзета-функция представляет собой сумму обратных степеней простых чисел,k-простые числа (целые числа, являющиеся произведением $k$ нетобязательно различные простые числа) определяют своего рода промежуточные суммы:

$P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}$

где $\Omega$ — общее количество простых делителей .

к	с	приблизительная стоимость $P_{k}(s)$	ОЭИС
2	2	$0.14076043434\ldots$	ОЭИС : A117543
2	3	$0.02380603347\ldots$
3	2	$0.03851619298\ldots$	ОЭИС : A131653
3	3	$0.00304936208\ldots$

Каждое целое число в знаменателе дзета-функции Римана $\zeta$может быть классифицирован по значению индекса $k$, который разлагает дзета Риманафункцию в бесконечную сумму $P_{k}$:

$\zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)$

Поскольку мы знаем, что ряд Дирихле (по некоторому формальному параметру u ) удовлетворяет условию

$P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},$

мы можем использовать формулы для симметричных полиномиальных вариантов с производящей функцией правостороннего типа. А именно, мы имеем коэффициентное тождество, которое $P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )$ когда последовательности соответствуют $x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)$ где $\chi _{\mathbb {P} }$ обозначает характеристическую функцию простых чисел . Используя тождества Ньютона , мы имеем общую формулу для этих сумм:

$P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).$

Особые случаи включают следующие явные расширения:

${\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}$

Дзета-функции по простому модулю

Построение суммы не по всем простым числам, а только по простым числам, принадлежащим к одному и тому же классу по модулю, вводит дополнительные типы бесконечных рядов, которые являются сокращением L-функции Дирихле .

См. также

• Расхождение суммы обратных простых чисел

Ссылки

• Меррифилд, CW (1881). «Суммы рядов обратных простых чисел и их степеней» . Труды Королевского общества . 33 (216–219): 4–10. дои : 10.1098/rspl.1881.0063 . JSTOR   113877 .
• Фрёберг, Карл-Эрик (1968). «О простой дзета-функции». Северные времена Обработка информации (БИТ) . 8 (3): 187–202. дои : 10.1007/BF01933420 . МР   0236123 . S2CID   121500209 .
• Глейшер, JWL (1891). «О суммах обратных степеней простых чисел». Кварта. Дж. Математика . 25 : 347–362.
• Матар, Ричард Дж. (2008). «Двадцать цифр некоторых интегралов простой дзета-функции». arXiv : 0811.4739 [ math.NT ].
• Ли, Цзи (2008). «Графы простых чисел и показательный состав видов» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 115 (8): 1374–1401. arXiv : 0705.0038 . дои : 10.1016/j.jcta.2008.02.008 . МР   2455584 . S2CID   6234826 .
• Матар, Ричард Дж. (2010). «Таблица L-рядов Дирихле и простых дзета-функций для малых модулей». arXiv : 1008.2547 [ math.NT ].

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Основная дзета-функция» . Математический мир .