Плотность Дирихле

Не путать с распределением Дирихле теории вероятностей.

В математике плотность Дирихле (или аналитическая плотность ) набора простых чисел , названная в честь Питера Густава Лежена Дирихле , является мерой размера набора, которую легче использовать, чем естественную плотность .

Определение

Если A является подмножеством простых чисел, Дирихле плотность A это предел

$\lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\frac {\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}}}{\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}}}$

если оно существует. Обратите внимание, что поскольку $\textstyle {\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}\sim \log({\frac {1}{s-1}})}$ как $s\rightarrow 1^{+}$ (см. Prime дзета-функция ), это также равно

$\lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}} \over \log({\frac {1}{s-1}})}.$

Это выражение обычно представляет собой порядок « полюса »

$\prod _{p\in A}{1 \over 1-p^{-s}}$

при s = 1 (хотя, вообще говоря, на самом деле это не полюс, поскольку он имеет нецелый порядок), по крайней мере, если эта функция является голоморфной функцией, умноженной на (действительную) степень s −1 вблизи s = 1. Например, , если A — множество всех простых чисел, то это дзета-функция Римана , имеющая полюс порядка 1 в точке s = 1, поэтому множество всех простых чисел имеет плотность Дирихле 1.

В более общем смысле, таким же способом можно определить плотность Дирихле последовательности простых чисел (или степеней простых чисел), возможно, с повторениями.

Характеристики

Если подмножество простых чисел A имеет естественную плотность, определяемую пределом

(количество элементов A меньше N )/(количество простых чисел меньше N )

тогда он также имеет плотность Дирихле, и обе плотности одинаковы. Однако обычно легче показать, что набор простых чисел имеет плотность Дирихле, и этого достаточно для многих целей. Например, при доказательстве теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях легко показать, что множество простых чиселв арифметической прогрессии a + nb (для a , b взаимно простых) имеет плотность Дирихле 1/φ( b ), чего достаточно, чтобы показать, что существует бесконечное число таких простых чисел, но труднее показать, что это естественная плотность.

Грубо говоря, доказательство того, что некоторое множество простых чисел имеет ненулевую плотность Дирихле, обычно предполагает доказательство того, что некоторые L -функции не обращаются в нуль в точке s = 1, а доказательство того, что они имеют естественную плотность, предполагает доказательство того, что L -функции имеют в строке Re( s ) = 1 нет нулей.

На практике, если некоторый «естественный» набор простых чисел имеет плотность Дирихле, то он также имеет естественную плотность, но можно найти искусственные контрпримеры: например, набор простых чисел, первая десятичная цифра которого равна 1, не имеет естественной плотности. плотность, но имеет плотность Дирихле log(2)/log(10).

См. также

• Естественная плотность

Ссылки

• Ж.-П. Серр , Курс арифметики , ISBN   0-387-90040-3 , глава VI, раздел 4.